最小値の存在証明って？

質問

今年大学受験する者です。

３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき、不等式（２＋１／ｘ）（２＋１／ｙ）（２＋１／ｚ）≧１２５
が成り立つことを示せ。

という問題で解答の部分は理解できたのですが注の部分で最小に関する話題がでてきて

４ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）＾２－（ｘ－ｙ）＾２に着目して
「与式は，ｚを固定するとｘ＝ｙの時最小となる．同様にｙを固定するとｘ＝ｚのとき，ｘを固定するとｙ＝ｚのときに最小となる．
　よってｘ，ｙ，ｚの少なくとも２つが異なるとき，たとえばｘ≠ｙとするとｚをそのままにしてｘ＝ｙとすることによって，与式を小さくできるから，与式はｘ＝ｙ＝ｚのとき最小となる」と解答してよさそうですが，この議論には重大な欠陥があります．
上の「」で結論できることは，｛与式に最小値がある｝ならば，それはｘ＝ｙ＝ｚのときである，ということであって，｛｝の証明が欠落しています．｛｝はすこしも自明ではありません．

と書かれていたのですが、最小値の存在を高校数学の知識で証明できるのでしょうか？
また最小値の存在が自明と捉えてよい基準もよく分かりません。
間違い例の解答も固定していって分数関数に帰着できていて最小値が求められていると思います。
問題文に「最小値を求めろ」と書かれている場合に最小値の存在が前提であると考えられるのでしょうか？
しかしそのように考えると２次関数でも最小値や最大値の存在証明しなくてはならない気がします。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

owata-www · ベストアンサー

閉区間でなくとも例えばx^2は最小値0を取ります。
これはf(x)=x^2がx<0ではf'(x)<0、0<xでは0<f'(x)だからです。

というより、私はこの欠陥は

＞与式は，ｚを固定するとｘ＝ｙの時最小となる．同様にｙを固定するとｘ＝ｚのとき，ｘを固定するとｙ＝ｚのときに最小となる．
から
＞よってｘ，ｙ，ｚの少なくとも２つが異なるとき，たとえばｘ≠ｙとするとｚをそのままにしてｘ＝ｙとすることによって，与式を小さくできるから，与式はｘ＝ｙ＝ｚのとき最小となる

というところに論理の飛躍がある点が問題だと思います。

＞与式は，ｚを固定するとｘ＝ｙの時最小となる．
から
（２＋１／ｘ）（２＋１／ｙ）（２＋１／ｚ）≧[２＋１／｛（１－ｚ）／２｝]＾２（２＋１／ｚ）
として、０＜ｚ＜１の範囲の最小値を求めればいいと思います。

お礼

やっぱり有限回の固定でｘ＝ｙ＝ｚはもともと＝じゃないといえませんね。

＞（２＋１／ｘ）（２＋１／ｙ）（２＋１／ｚ）≧[２＋１／｛（１－ｚ）／２｝]＾２（２＋１／ｚ）
として、０＜ｚ＜１の範囲の最小値を求めればいいと思います。

解き方教えてくれてありがとうございます。

回答No.4

endlessriver

この問題の場合、最小値の存在は証明できます。その手順は
（２＋１／ｘ）（２＋１／ｙ）（２＋１／ｚ）≧１２５を証明し、等号が成立するx,y,zを具体的に示せばよいのです。高校の範囲であれば上式の証明は定石で(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)等号成立はa=b=cが使えますので、等号成立値は自然と求まります。
これに類した問題は数学オリンピックにたくさんりあります。

お礼

相加相乗が一番きれいな求め方ですね。
今度、数学オリンピックの問題もみてみます。

回答No.3

mister_moonlight

質問者の出典は「新数学演習」（東京出版）の「関数と方程式・不等式」の2.25の解説だろう。

この問題には、高校生の時（けっこう昔だが　ｗ）に、苦しんだ記憶があるので思い出した。
ボロボロになった「新数学演習」を引っ張り出してみたが、そこでの解説は「東京理科大」の問題を持ち出して（早大の問題とも関係して）、東京理科大の問題は最大値を持つ事が自明であるから良いが、質問の問題の左辺については最小値の存在が自明でないからその解法は駄目だ、と言っているに過ぎない。

解説をもう一度、良く読んだら良い。
解説の前後を省略して質問しても、回答者が困るだけだ。

お礼

困っている人がいるとは思いませんでした。
すみません。

回答No.1

Tacosan

「閉区間で連続な関数はその閉区間において最大値および最小値を持つ」という定理があるので, これが適用できる場合には最大値・最小値の存在をわざわざ示す必要はありません. ですが, 最初の問題については閉区間ではないので, 「与式に最小値があることは自明ではない」と書かれているのだと思います.

お礼

なるほど、閉区間と開区間の差でしたか。
大体納得できました。
ありがとうございました♪