塀がある放物線の問題について

質問

初速度v0、傾きθで投げる放物線の問題についてです。
(x0,y0)=(l,h)の塀があり
(1)その塀に接触して越える条件をv0,h,l,θ,gで表せ。
(2)球が塀を越える最小初速度v0とそのときのθを求めよ。
(3)塀の仰角がα=arctan(h/l)のときθ=(π/4)+(α/2)であることを示せ。

(1),(2)は解いてみたのですが、答えがあっているか分かりません。
(3)は解き方が分かりません。

(1)は軌跡のx,yにそれぞれl,hを代入し

v0=l/cosθ(√g/2(ltanθ-h))

(2)最小初速度に二重根号が入ってるのですが、間違ってないでしょうか？
またこの問題で問われているθはθ=arctanで書くものですか？
それとも解き方次第では三角関数を使わないでも書けるのでしょうか？

v0=√g(h+√(h^2+l^2))
tanθ=(h+√h^2+l^2)/l

答えの確認と(3)の解き方をお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

次のように解釈して計算しましょう。塀と地面が交差する点を原点にとってボールを投げる方向を+x、上向きに+ｙを取ります。ボールを点(-l,0)から塀のほうに投げて塀の上端P(0,h)を通過させるとします。方程式は
　x=V0cosθt-l
y=V0sinθt-gt^2/2
Pを通過する時刻はt=l/V0cosθt、このときy=h
これより
　　h=ltanθ-gl^2/(2V0^2cosθ^2)
V0について解くと
　　v0=l/cosθ(√g/2(ltanθ-h))
となります。これが（1）の答えです。

（2）球が塀を越える最小初速度v0とそのときのθを求めよ
この意味がまたよくわからなかったけど、要するにθの関数としてのv0の最小値を求めよという意味です。
つまりv0をθで微分してv0の最小値を与えるθを求めます。
これは相当計算力が必要です。難しいわけではありません。数学がしっかりしている必要があります。
　dV0/dθ=0とおいて結果を整理すると
　lcos2θ+hsin2θ=0
が出てきます。三角関数の加法定理も知っている必要があります。
これからtan2θ=-l/h
tan2θ=2tanθ/(1-tanθ^2)
よりtanθを求め、Ｖ0をもとめると確かに
v0=√g√(h+√(h^2+l^2))
tanθ=(h+√h^2+l^2)/l
となります。たいへんな計算力を要します。

（3）要するにtanα=h/lのときtan2θ=-l/hであるθとαの関係を求めよということです。
　　-tan2θ=l/h=1/tanα=tan(π/2-α)
2θはπ/2とπの間の角と考えられ、
-tan2θ=tan(π-2θ)=tan(π/2-α)
これよりπ-2θ=π/2-α
　よってθ=π/4+α/2

久しぶりにこんなに疲れる計算をしてバテました。
間違ってはいないがもっとスマートな方法があると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
別の方法も考えてみようと思います。
詳しい解説感謝です。

回答No.1

spring135

>(x0,y0)=(l,h)の塀
何を言ってるのかさっぱりわかりません。(x0,y0)は位置ですか。
塀の長さがlで高さがhの意味ですか。それが(x0,y0)=(l,h)となると完全に訳がわかりません。塀の厚さは考えなくてもよいのですか。