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高校物理、放物運動の考察と計算方法
- 高校物理の放物運動において、水平投射の場合と仰角θでの投射の場合の計算方法と放物線の形について考察します。
- 水平投射の場合、投げ出された点を原点とし、ｘ軸を初速度ｖ₀の向き、ｙ軸を鉛直下向きとする座標系で、物体の位置（ｘ、ｙ）と速度（ｖₓ、ｖₓ）は計算で求めることができます。
- また、仰角θでの投射の場合、投げ出された点を原点とし、ｘ軸を水平右向き、ｙ軸を鉛直上向きとする座標系で、物体の位置（ｘ、ｙ）と速度（ｖₓ、ｖₓ）は求めることができます。この場合、放物線の形はｙ＝tanθｘ－ｇ／｛２（ｖ₀cosθ）＾２｝ｘ＾２となります。ｇの正負によって放物線が下に凸か上に凸かが分かれるため、正確な計算方法を理解することが重要です。
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ｇは重力加速度なので、下向きに働きます。 ｙ軸のとり方は自由ですが、少なくともご質問にあるように、前半では「鉛直下向きにｙ軸をとり」、後半では「鉛直上向きにy軸をとる」というのは、混乱のもとです。 とりあえず、ご指定のとおりに解いてみましょう。 前半では、「鉛直下向きにｙ軸をとり」とありますので、このｇは「正」の値で考え、式もｙ軸のとおり、下向きを生として考えればよいです。 従って、 ・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。 よって、 ｖｘ＝ｖ０ ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｘ＝０とすると ｘ＝ｖ０ｔ （１） ・鉛直方向の加速度はｇ（m/s^2）であり、鉛直方向の初速度はゼロなので、鉛直方向の速度は時間をｔ（秒）として ｖｙ＝ｇｔ となる。 ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｙ＝０とすると ｙ＝（１／２）ｇｔ^2 （２） （どうしてこうなるのかは分かりますよね？） ・（１）式と（２）式からｔを消去すると、 （１）より ｔ＝ｘ／ｖ０ これを（２）に代入して、 ｙ＝（１／２）ｇ・（ｘ／ｖ０）^2 ＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０）^2・ｘ^2 ここで、Ａ＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０）^2 （ｖ０で決まる定数）とおけば、 ｙ＝Ａ・ｘ^2 という二次曲線になります。 ｙ軸は下向きが「正」で、定数Ａは正ですので、「上に凸」の放物線となります。 後半では、「鉛直上向きにy軸をとる」ので、下向きの重力加速度は「－ｇ」となります。（ｇそのものは「正」の数値です） ここでは、初速度は、水平方向より仰角θ（斜め上向き）方向にｖ０ですから、 ・水平方向： ｖ０ｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ ・鉛直方向： ｖ０ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ となります。 それ以外は前半と同じですから、次のようになります。 ・摩擦や空気抵抗を考えなければ、水平方向の加速度はゼロなので、水平方向の速度は初速度のまま変わらない。 よって、 ｖｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｘ＝０とすると ｘ＝ｖ０・ｃｏｓθ・ｔ （３） ・鉛直方向の加速度は－ｇ（m/s^2）であり、鉛直方向の初速度は ｖ０ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ なので、鉛直方向の速度は時間をｔ（秒）として ｖｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ － ｇｔ となる。 ｔ（秒）後の座標は、最初の点をｙ＝０とすると ｙ＝ｖ０・ｓｉｎθ・ｔ － （１／２）ｇｔ^2 （４） （どうしてこうなるのかは分かりますよね？） ・（３）式と（４）式からｔを消去すると、 （３）より ｔ＝ｘ／ｖ０・ｃｏｓθ これを（４）に代入して、 ｙ＝（ｓｉｎθ／ｃｏｓθ）・ｘ － （１／２）ｇ・（ｘ／ｖ０・ｃｏｓθ）^2 ＝ｘ・ｔａｎθ － （１／２）ｇ・（１／ｖ０・ｃｏｓθ）^2・ｘ^2 ここで、Ｂ＝ｔａｎθ、Ｃ＝（１／２）ｇ・（１／ｖ０・ｃｏｓθ）^2 （Ｂ、Ｃともｖ０とθで決まる定数。θによらずＣは常に正）とおけば、 ｙ＝Ｂ・ｘ － Ｃ・ｘ^2 ＝ －Ｃ・ｘ^2 ＋ Ｂ・ｘ という二次曲線になります。 ｙ軸は上向きが「正」で、定数Ｃ（>０）に「マイナス」が付いていますので、「上に凸」の放物線となります。 「ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか?」というのは、「ｇ」は常に「正」にして、その前につく符号が「プラス」「マイナス」かで判断するようにした方が混乱しません。 また、ｙ軸がどちらを正方向にしているか、ということも関係します。 ご質問の問題のように、前半ではｙ軸は下向きが正、後半では上向きが正、という混在はさせず、統一して表記することが大切です。直感的にわかりやすいよう、ｙ軸は上向きを正として、下向きの重力加速度を「－ｇ」と表すのが一番誤解を招かないと思います。
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- spring135
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座標系はどのようにとっても構わないのですが、途中で変更すると混乱のもとで大体は大失敗をします。なお斜交座標もまず失敗します。必ず直交座標をとってください。 また、定数は必ず正の値になるように式を組み立てます。下向きにy軸をとっているので運動方程式は F=m*αy=mg αy=g です。もし上向きにy座標をとった場合は F=m*αy=-mg αy=-g です。 通常は上向きにy座標をとるほうが多いですが、下向きにとっても間違いではありません。 質問者の設定した、投げ出された点をOとして、水平方向をx軸、鉛直下向きにｙ軸をとるという、一貫した方針で進めてください。 水平投射： αx=0 αy=g が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。 vx=vx0 vy=gt+vy0 vy0=0故 vy=gt x=vx0t+x0 x0=0故 x=vx0t (1) y=gt^2/2+y0 y0=0故 y=gt^2/2 (2) (1)よりt=x/vx0,これを(2)に代入して y=gx^2/(2v0^2) >ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか? ｇは正です。 水平方向より仰角θに初速度ｖ０でボールを投げだす場合： αx=0 αy=g が基礎方程式です。あとはこれを順次時間で積分するだけです。 vx=V0 vy=gt+vy0 vy0=0故 vy=gt x=V0t+x0 x0=0故 x=V0t (1) y=gt^2/2+y0 y0=0故 y=gt^2/2 (2) (1)よりt=x/V0,これを(2)に代入して y=gx^2/(2V0^2) >ｇの正負で放物線が下に凸か上に凸かが分かれますが、どう考えるのでしょうか? ｇは正です。 水平方向より仰角θに初速度V0でボールを投げだす場合： αx=0 αy=g vx=V0cosθ vy=gt+vy0 vy0=-V0sinθ故 vy=gt-V0sinθ x=V0cosθt (3) y=gt^2/2-V0sinθt (4) (3)よりt=x/V0cosθ,これを(2)に代入して y=gx^2/[2(V0cosθ)^2]-xtanθ (5) >ｙ＝tanθｘ－ｇ／｛２（ｖ０cosθ）＾２｝ｘ＾２となったのですが、これもｇの正負はどう考えるべきでしょうか? ｇは鉛直下向きに生じているから負ではだめなんですが、どうしてですか gは正です。 質問者の計算は間違いです。下向きにy座標をとっている以上(5)が正解です。 座標系によらず定数は正にとります。
