a(a－2b)^3－b(b－2a)^3 の因数分解

質問

a(a－2b)^3－b(b－2a)^3 の因数分解がどうしても解けません。
問題集のヒントを見て a{(a-b)-b}^3＋b{(a-b)＋a}^3
まではもっていったのですがここから見当もつきません。
解答は (a-b)(a＋b)^3 となっています。
どなたか分かりやすく教えてください。

回答No.3

pirimo1982

□A=a-2b
□B=b-2a

と置き換えて見ましょう。すると、

□a=-(A+2B)/3
□b=-(2A+B)/3

となり、

a(a－2b)^3－b(b－2a)^3
=-(A+2B)/3 * A^3 + (2A+B)/3 * B^3
=-(A^4 + 2A^3*B - 2AB^3 - B^4)/3

カッコの中の1項目と4項目、2項目と3項目をそれぞれ合わせて、

=-{ (A^2 + B^2)(A^2 - B^2) + 2AB(A^2 - B^2) }/3
=-{ (A^2 - B^2)(A^2 + 2AB + B^2) }/3
=-(A - B)(A + B)^3/3
=-(3a-3b)(-a-b)^3/3
=(a-b)(a+b)^3

となります。(途中式が若干怪しいかもしれませんがそこはご愛嬌で・・・)
勿論、展開するのも1つの手ですし、根気よく探せばもっといい解法があるような気もします。最終的に答えが出ればいいのでご自分に合った方法を用いてください。

> 問題集のヒントを見て a{(a-b)-b}^3＋b{(a-b)＋a}^3
> まではもっていったのですがここから見当もつきません。

失礼ですが解説にこの方法が載っていたのですか？

答えは(a-b)(a＋b)^3であることが分かっていますよね？
もし仮にX=a-bとして計算をすると、X^3という項目が出てきますが、因数分解した結果(a-b)は1乗しかないので結局展開する羽目になると思います。

X=a+bとして計算するとうまくいくかも。
a{(a+b)-3b}^3-b{(a+b)-3a}^3 = ?
解答がわからない前提ではこんな考え方は通用しませんが・・・(汗)

回答No.2

info22

a,bについて対称式や交代式らしき式の場合は
a=bやa=-bとおいて見ることですね。
つまり
f(a,b)=a(a－2b)^3－b(b－2a)^3
とおいて
f(a,a)=-a^4+a^4=0　→　因数定理によりf(a,b)は(a-b)で割り切れる
f(a,-a)=27a^4-27a^4=0　→　因数定理によりf(a,b)は(a+b)で割り切れる
f(a,b)は(a-b)(a+b)=(a^2-b^2)を因数を持つことを意識して
f(a,b)を展開して因数分解する。

f(a,b)=a(a－2b)^3－b(b－2a)^3
=a^4-b^4 +2ab(a^2-b^2)
　　　=(a^2-b^2)(a^2+b^2+2ab)
=(a-b)(a+b)^3

回答No.1

owata-www

a{(a-b)-b}^3＋b{(a-b)＋a}^3
＝a{(a-b)^3-3(a-b)^2*b+3(a-b)*b^2-b^3}+b{(a-b)^3+3(a-b)^2*a+3(a-b)*a^2+a^3}
＝(a+b)(a-b)^3+3(a+b)*(a-b)*ab+ab(a^2-b^2)
＝(a+b)(a-b){(a-b)^2+3ab+ab}
＝(a-b)(a+b)^3

素直に展開してください