81a^4-72a^2b^2+16b^4の因数分解

質問

81a^4-72a^2b^2+16b^4の因数分解で答えは
(3a-2b)^2(3a+2b)^2
となるのですが，どうしてこの形になるのか，なんとなくは分かるのですがいまいち理解できません．この因数分解の解説をなるべく省略せずにお願いします．

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

与式＝（９ａ＾２－４ｂ＾２）＾２
となるのは判りますか？判りにくかったら、例えば
ａ＾２＝ｘ、ｂ＾２＝ｙと置き換えて
与式＝８１ｘ＾２－７２ｘｙ＋１６ｙ＾２
としてたすき掛けをした後で置き換えを戻せばいいと思います。

回答No.3

bran111

81a^4=(3a)^4
16b^4=(2b)^4
に気が付けば話は見えてきます。
3a=x, 2b=y
とおくと
81a^4-72a^2b^2+16b^4=x^4-2x^2*y^2+y^4=(x^2-y^2)^2=(x-y)^2×(x+y)^2
=(3a-2b)^2×(3a+2b)^2

回答No.2

noname#212313

81a^4-72a^2b^2+16b^4をじっと見て、81＝9^2、16＝4^2という点が目につきます。また、a, bについては4乗と2乗の項しかありません。

　そこで、9a^2=A, 4b^2=Bと置いて、与式を書き換えてみます。

　91a^4-72a^2b^2+16b^4
=A^2-2AB+B^2　←A, Bに置き換えると、
=(A-B)^2　←よく見る2次式の因数分解
=(9a^2-4b^2)^2　←aとｂに戻してみると、9=3^2, 4=2^2だから、
={(3a)^2-(2b)^2}^2　←2乗の引き算となって、
={(3a-2b)(3a+2b)}^2　←やはりよく見る2次式の因数分解
=(3a-2b)^2(3a+2b)^2　←各項を2乗する形に書くと、お示しの式