方程式の問題です

質問

ax^2-2ax-a^2-1=0

の式が実数解を持つaの範囲はa>0の時で、実数解（ｘの範囲）の存在する範囲を求めよという問題なのですが

ax^2-2ax=a^2+1

a(x^2-2x)=a^2+1

(x^2-2x)=(a^2+1)/a

(x-1)^2=(a^2+1)/a,+1
右辺は(a^2+a+1)/aに変形でき

a>0なので
(x-1)=±√(a^2+a+1)/a
x=±√(a^2+a+1)/a、+1
x=±√a+1+1/a,+1

なのでa>0から

x=a+1+1/a,+1≧3・3乗根√1,+1

(等号成立はa=1=1/aの時)

よってx≧±√3+1

となると思うのですが

答えはx≧1+√3、x≦1-√3となります。

x≧±√3+1の不等号の向きが左右に分かれる点（x≧1+√3、x≦1-√3)
の所がよくわからないのでどなたか解説をお願い致します。

それと,よりスマートな解答がありましたら教えて下さい。

長文になりましたがよろしくお願い致します。

回答No.5

mister_moonlight

この問題に限れば。。。。

(x^2-2x)＝(a^2+1)/a＝a＋（1/a）であるから、a＞0より、a＋（1/a）≧2.　等号はa＝1の時。
従って、x^2-2x≧2　とするのが一番簡単なんだが。
ちょっと、問題が出来過ぎてる。

回答No.4

spring135

aの関数としてx=1+(1+a+1/a)^.5, x=1-(1+a+1/a), a>0
を描けば一目瞭然。またはp=a+1/aはa>0のときp>=2
このときpの関数　x=1+(1+p)^.5, x=1-(1+p), p>=2
を描いてもよい。
このような問題では必ずグラフを描きながら考えること。

回答No.3

kobold

>x≧±√3+1の不等号の向きが左右に分かれる点（x≧1+√3、x≦1-√3)
まずこの部分ですが、x^2>4という不等式を考えてみましょう
2乗して4以上になる数は、明らかにx<-2,2<xですね
これはグラフを想像してみれば分かると思います
2次不等式の場合、2乗をはずす時は一般にこのようになります

次にスマートな解法ですが、一般にこの手の問題は次のように解きます
xを定数と見て、問題の式をaの2次方程式と思います
f(a)=a^2+(2x-x^2)a+1=0がa>0で解を持つようなxの範囲を求めます
f(0)=1>0なので、D≧0,軸>0であればよい
2x-x^2<0より0<x,2<x-(1)
D=(2x-x^2)^2-4>=0,2x-x^2<=-2,x^2-2x-2>=0,x≦1-√3または1+√3≦x-(2)
(1)(2)をあわせて、x≦1-√3または1+√3≦x

回答No.2

info22

(省略)
> a(x^2-2x)=a^2+1
a>0なので
> (x^2-2x)=(a^2+1)/a
(省略)
> (x-1)^2=(a^2+1)/a,+1
(x-1)^2=1+(a^2+1)/a

> 右辺は(a^2+a+1)/aに変形でき
> a>0なので
(a^2+a+1)≧0…(◆)の場合は
> (x-1)=±√{(a^2+a+1)/a}
> x=±√(a^2+a+1)/a、+1
x=[1±√{(a^2+a+1)/a}]
と実数解が得られる。
（以降お書きの解は削除する）
実数解となるための条件はaが(◆)を満たすことである。
a^2+a+1≧0…(◆)

これを解けば答えの
> 答えはx≧1+√3、x≦1-√3となります。
a≧1+√3、a≦1-√3
> 分かれる点の所がよくわからない
y=f(a)=a^2+a+1
のグラフ（横軸はa）を書いて
y=f(a)=a^2+a+1≧0
となるaの範囲をグラフから読み取れば
aの範囲が別れることが分かると思うよ。

回答No.1

mister_moonlight

（解法-1）

f（a）＝a＾2+（2x-x＾2）*a＋1＝0がa＞0の解を少なくても1個持つと良い。
ところが、2解の積＝1＞0より2解共に正であれば良い。
従って、判別式≧0、2解の和＞0.　実際の計算は自分でやって。

（解法-2）

a＾2+（2x-x＾2）*a＋1＝0の2解をα、βとすると、α＋β＝-2x＋x＾2、αβ＝1　‥‥(1)。　a＞0より　α＞0とすると、(1)よりβ＞0.
-2x＋x＾2＝kとすると、αとβはαβ平面上で　αβ＝1、α＞0、β＞0を満たす。（図示すると分かりやすいだろう）
α＋β＝k　‥‥(2)よりβ＝k-αを(1)に代入して判別式≧0よりk≧2.
つまり、x＾2-2x≧2より、模範解答のとおりになる。