2次方程式の問題です。教えてください。

質問

a,bを実数の定数とする。2次方程式ax^2-４ｘ+ｂは異なる２つの実数解
をもち、その差は２である。
a,bの満たす関係式を求めよ。
また、ｘの関数ax+ｂ（-１≦ｘ≦２）の最大値が４であるとき
a,bの値を求めよ。

そのまま解けばいいと思うのですが・・
どうやって解けばいいのか分かりません。
教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.2

ast0718 · ベストアンサー

面倒な問題ではあります。
十分な計算確認ができていないので最後の部分が間違っているかもしれませんがそれらしい答えが出ます

まず2次方程式である以上a≠0
(2次方程式と書かれていれば確認の必要は本来はありません。
ただし方程式とのみ書かれていたらこうした確認が必要なときもあります。)

2解をα、βとすると
解と係数の関係より
α＋β=4/a
与えられた条件より
αーβ=2
よってα=1+2/a,β=-1+2/a
解と係数の関係よりαβ=b/a
b=αβ=4/a-aこれが満たすべき式

次に一時関数ax+bが最大値をとるのは
(i)a>0のときはx=2のときでつまり2a+b=4
bを代入してa+4/a=4
aをかけて整理してa^2-4a+4=0
a=2 b=4/2-2=0 これはa>0を満たしているからよさそうですね
元の方程式にあてはめても2x^2-4x=0ですから0,2で差が2になります。

(ii)a<0のときはx=-1のときつまり-a+b=4
-2a+4/a=4 -a+2/a-2=0
a^2-2a+2=0
これは不適です、判別式D=4-8=-4<0
つまりaは実数解をもたないのでaは実数であるという条件を満たせません。

a,bの条件式を求めるところは解の公式でゴリ押しても解けます
受験を考えているならゴリ押せるということも大事ですのでやってみるといいと思います。

お礼

一番丁寧な解説ありがとうございます！
一度やってみます。

回答No.4

yumedaisuki

一見複雑そうですが、なるべく勘弁に計算できることを考えてみましょう。
2次方程式の解の公式ですが、実解の場合で考えてみましょう。

　x= (-(-4) ±　√D) / 2a、ここで、D=(-4)^2-4ab

　質問者さんの「直接、解く」とは、√の中のDを最初から全部計算するということでしょうか？

　Dのままで整理するとそれほど複雑とは思えません。複雑な計算はいやだし、引き算の場合は
　共通項もあるので、比較的簡単ですよね。

　実解の「差」なので、+√Dのほうが大きいはずですよね。
　したがって

　解の差は

　(4+√D -(4-√D))/ 2a = 2
　2√D/ 2a = 2
　　√D＝2a

　両辺を二乗して、

　D = 4a^2
　4^2-4ab=4a^2
　16-4ab=4a^2

　つまり最終的には、aとb以下の関係になります。

　a^2+ab-4=0
　----------------------
　ax+bの最大値の場合については、a>0 , a<0 の場合で、それぞれ考えればそれほど難しくはないでしょう。

回答No.3

shsst14

"ax^2-４ｘ+ｂ"は2次方程式ではありません。"=0"のようなものが必ず付くはずです。
指摘されても気付かないとか、大した間違いでないと考えられるのであれば、数学は永遠に上達しないと思います。
既に回答している方がこの点について指摘されていないのは非常に残念です。
数学は、受験のためのツールではなく、その後の実用的解決能力を養うために学ぶものです。

補足

書き間違えていました。=０はつきます。混乱させてしまってすいませんでした。
私には分からないので、数学について語るのであれば
他の場所で語っていただけますか？

回答No.1

bgm38489

一つ目の問題は、まず、実数解を二つもつということから、判別式＞０ということが分かるね。また、解の公式から二つの解が生まれるが、＋√のつく解から－√のつく解を引けば、２となるということだ。これで、二つの条件が見える。それらを総合すれば、関係式ができる。
二つ目は、y=ax+bの一次関数だから、aが負ならば、x＝－１のときが最大値、aが正ならば、ｘ＝２のときが最大値となる。…おや、これも、a,bの満たす関係式を求めよ、では？