ヘルダー&ミンコフスキー(？)の不等式について

質問

任意の正の数a,bについて
ab≦(a^p/p)＋(b^q/q)
(但し(1/p)＋(1/q)＝1)

という『ヤングの不等式』を利用して次の『ヘルダーの不等式』と『ミンコフスキーの不等式』を示したいのですが、よくわからずに困っています….

『ヘルダーの不等式』
{(Σ|a_i|^p)^(1/p)}{(Σ|b_i|^q)^(1/q)}≧|Σa_ib_i|
(但し(1/p)＋(1/q)＝1)
(Σはi＝1～n)

『ミンコフスキーの不等式』

(Σ|a_i＋b_i|^p)^(1/p)
≦(Σ|a_i|^p)^(1/p)＋(Σ|b_i|^p)^(1/p)
(但しp≧1)

どなたか回答よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

ヤングの不等式を利用して良いのであれば・・・
(取り敢えずヘルダーの不等式のみ回答)

｛A[k]｝≧0,｛B[k]｝≧0なる数列と考えて
Σ(k=1～n)（A[k]）^p=1
Σ(k=1～n)（B[k]）^q=1
とする。

ヤングの不等式
ab≦(a^p/p)＋(b^q/q)
のaにA[k] , bにB[k]を入れると

A[k]・B[k]≦｛（A[k]）^p/p｝+｛（B[k]）^q/q｝・・・(0)

(1)をkについて和を取れば

Σ(k=1～n)A[k]・B[k]≦(1/p)Σ(k=1～n)(A[k]）^p+(1/q)Σ(k=1～n)（B[k]）^q
=1/p+1/q
=1 ・・・・・・・・・・(1)

A[k]=a[k]/(Σ(k=1～n)(a[k])^p)^1/p ｛a[k]｝≧0 ・・・(2)
B[k]=b[k]/(Σ(k=1～n)(b[k])^q)^1/q ｛b[k]｝≧0 ・・・(3)

とおけば

Σ(k=1～n)(A[k]）^p = 1
Σ(k=1～n)(B[k]）^q = 1

であるから(2)(3)辺々掛け合わせて和を取れば

Σ(k=1～n)A[k]B[k] = Σ(k=1～n)｛a[k]/(Σ(k=1～n)(a[k])^p)^1/p｝^p｛b[k]/(Σ(k=1～n)(b[k])^q)^1/q｝^q≦1
が出る。

故に
Σ(k=1～n)a[k]b[k]≦｛Σ(k=1～n)(a[k])^p)｝^1/p・｛Σ(k=1～n)(b[k])^q)｝^1/q

補足

回答ありがとうございます！
とても参考になりました。質問文の式と同じ形になるようにしたかったのもあり、すこし自分の言葉で書き直して見たのですが、こうゆうことでいいのでしょうか!？

(証)
(1/p)＋(1/q)＝1なるp,qと数列a[k],b[k]を用いて
A[k]
＝|a[k]|/(Σ|a[k]|^p)^(1/p)

B[k]
＝|b[k]|/(Σ|b[k]|^q)^(1/q)

とすれば
ΣA[k]＝ΣB[k]＝1となる…(1)

※ただしここでは(Σ|a[k]|^p)^(1/p)と(Σ|b[k]|^q)^(1/q)はともに0でない、つまりa[k]とb[k]はともに恒等的に0でない数列する。

ところで今、A[k],B[k]の決め方からA[k],B[k]>0であるからヤングの不等式より
A[k]B[k]≦A[k]/p＋B[k]/qとなる。(∵1/p＋1/q＝1)
この不等式の両辺をkについて足し会わせて
ΣA[k]B[k]
≦ΣA[k]/p＋ΣB[k]/q
＝1/p＋1/q(∵(1)より)
＝1(∵pqの決め方より)

つまり
ΣA[k]B[k]≦1

ここで、A[k]B[k]の定義からヘルダーの不等式を得る

一方、(Σ|a[k]^p|)^(1/p)と(Σ|b[k]^q|)^(1/q)がともに0、つまりa[k]とb[k]はともに恒等的に0である数列とするときは、ヘルダーの不等式は明らかに成立。

以上より、ヘルダーの不等式は任意の数列a[k]b[k]について成り立つ…。