ベクトルの問題

質問

点Ｏを中心とする半径1の縁を概説円とする三角形ＡＢＣを考えると、

|OA↑+OB↑+OC↑|=1を満たすものは直角三角形に限ることを示せ。

この問題を教えてください。2乗してみてもなかなかうまくいきません。

回答No.2

sansuusiki · ベストアンサー

これは、ベクトル計算だけで答えを出すのは難しい問題ですね。
しかし、図形だけで答えを出すのも、一般的な解法にならないので
なやましい問題です。

＜先ず、図形で考えること＞
（１）ＯＡ↑＋ＯＢ↑≠０の場合は、
点Ｏから、べくトルＯＡ↑＋ＯＢ↑の位置にある点をＤとすれば、
点ＯからＯＤ↑＋ＯＣ↑の位置にある点をＥとすれば、
｜ＯＥ↑｜＝１
が条件なので、点Ｅは円の上にあります。
ＤＥ↑＝ＯＣ↑ですから、ＤＥ↑の長さは１です。
Ｄから長さ１の距離で円Ｏに交わる点は、ＡかＢしかありません。
そのため、（ＯＣ↑＝）ＤＥ↑は－ＯＡ↑かあるいは－ＯＢ↑です。
すなわち、ＣＡが円の直径になるか、ＣＢが円の直径になります。
円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。
（２）ＯＡ↑＋ＯＢ↑＝０になる場合もあることを考えます。
この場合はＡＢが円の直径になります。
円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。

＜ベクトル計算だけで答える＞
この解法を知りたいのでしょう。
この解法の１つは、以下のようになります。

問題の条件から、
（ＯＡ↑＋ＯＢ↑＋ＯＣ↑）・（ＯＡ↑＋ＯＢ↑＋ＯＣ↑）＝１
（記号・は、ベクトルの内積を意味する）
です。
点Ａ、Ｂ、Ｃが円の上にあるから、
（ＯＡ↑）・（ＯＡ↑）＝１
（ＯＢ↑）・（ＯＢ↑）＝１
（ＯＣ↑）・（ＯＣ↑）＝１
も条件です。
０＝（ＯＡ↑＋ＯＢ↑＋ＯＣ↑）・（ＯＡ↑＋ＯＢ↑＋ＯＣ↑）－１
＝－１＋（ＯＡ↑）・（ＯＡ↑）＋（ＯＢ↑）・（ＯＢ↑）
＋（ＯＣ↑）・（ＯＣ↑）
＋２（ＯＡ↑）・（ＯＢ↑）＋２（ＯＢ↑）・（ＯＣ↑）＋２（ＯＣ↑）・（ＯＡ↑）
＝２
＋２（ＯＡ↑）・（ＯＢ↑）＋２（ＯＢ↑）・（ＯＣ↑）＋２（ＯＣ↑）・（ＯＡ↑）
＝２（ＯＢ↑）・（ＯＢ↑）
＋２（ＯＡ↑）・（ＯＢ↑）＋２（ＯＢ↑）・（ＯＣ↑）＋２（ＯＣ↑）・（ＯＡ↑）
＝２（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）・（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）
よって、
０＝（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）・（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）
が得られます。
この式が成り立つということは、
（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）と（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）が直交するか、
（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）＝０か
（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）＝０か
の３つしかありません。
この３つの場合を分けて考えます。
（１）
（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）と（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）が直交するということは、
（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）に直交する線ＡＢと、
（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）に直交する線ＢＣと
が直交することを意味します。
すなわち、三角形ＡＢＣは直角三角形です。
（２）
（ＯＢ↑＋ＯＡ↑）＝０ということは、
ＡＢが円の直径であるということです。
円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。
（３）
（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）＝０ということは、
ＢＣが円の直径であるということです。
円の直径を一辺にする三角形は直角三角形です。

回答No.3

ichiro-hot

●成分表示で工夫すれば何とかなる。
　OAベクトル（=a）=（１，０）として
　OBベクトル（=b）=（cosθ１、sinθ１）
　OCベクトル（=ｃ）=（cosθ２、sinθ２），
　ただし，０<θ1<θ2<2πとする。
　このとき　a^2=b^2=c^2=1　が成り立つ。

|a+b+c|^2=a^2+b^2+c^2+2a・b＋2b・c＋2a・c=１　だから
a・b＋b・c＋a・c=-1
a・b＋b・c＋a・c=cosθ1＋＋cosθ１・cosθ2＋ｓｉｎθ１θ・sinθ2＋cosθ2
だから
cosθ1＋cosθ１・cosθ2＋ｓｉｎθ１θ・sinθ2＋cosθ2=-1
１＋cosθ1＋cosθ１・cosθ2＋ｓｉｎθ１θ・sinθ2＋cosθ2=０
（１＋cosθ1）（１＋cosθ2）＋ｓｉｎθ１θ・sinθ2=０

１＋cosθ＝2cos^2（θ/２），sinθ＝２sin（θ/2)cos（θ/２）を使い，整理して因数分解をして，
cos（θ1/２）・cos(θ2/２）＋sin（θ1/2)）・sin（θ2/2)｝＝cos｛（θ1-θ2）/２）｝
であることを用いると，
cos（θ1/２）・cos(θ2/２）・cos｛（θ1-θ2）/２）｝=０
が得られる。

よって、
cos（θ1/２）=０，cos(θ2/２）=０　または　cos｛（θ1-θ2）/２）｝=０

１）０<θ1<2πより，cos（θ1/２）=０ならばθ1=π
　点A，O，Bが同一直線上にあり，ABは中心を通る直線。だからこれは直径である。直径を底辺とする三角形は直角三角形。従って残る∠C＝∠Rである。

２））０<θ2<2πより，cos（θ2/２）=０ならばθ2=π
　点A，O，Cが同一直線上にあり，ACは中心を通る直線。だからこれは直径である。直径を底辺とする三角形は直角三角形。従って残る∠B＝∠Rである。

３）cos｛（θ1-θ2）/２）｝=０，
　　０<θ1<θ2<2πより，（θ1-θ2）/２）=-π/２
　　θ1-θ2=-π
　　θ2=θ1＋π
　点B，O，Cが同一直線上にあり，BCは中心を通る直線。だからこれは直径である。直径を底辺とする三角形は直角三角形。従って残る∠A＝∠Rである。

従って、|a＋b+c|＾2＝１ならば，ΔABCは直角三角形にがぎられる。

回答No.1

stomachman

難しい計算なんかいらない。図を描いて考えるといいでしょ。
　『点Oから出発して、ベクトル(OA↑+OB↑)だけ進んだところを点Dとする。点Dから出発して長さ1のベクトルOC↑だけ進んだら、元の「半径1の縁」上に来た』というのが|OA↑+OB↑+OC↑|=1の意味です。するとOC↑がどういうベクトルなのかは２通りに決まっちゃいます。あとは「概説円」に関する円周角を考えればおしまい。