ベクトルの問題

質問

中心Ｏ、半径1の円に内接する正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨを考える。

(1)OA・OBを求めよ。

(2)AB・BCを求めよ。

(3)EB＋ED＋EF＋EH＝［ ］OA
［ ］に当てはまる数字を求めよ。

お願いします(>_<)

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
内積ですね？ 両ベクトルの長さと成す角から計算しましょう。
|OA| = |OB| = (円の半径) = 1,　∠AOB = 2π÷8 です。

(2)
O を始点とするベクトルの式へ変形するとよいです。
AB・BC = (OB - OA)・(OC - OB) = OB・OC - OB・OB - OA・OC + OA・OB.
最右辺の各内積は、(1)と同様に計算しましょう。
|OA| = |OB| = |OC| = 1,
∠AOB = ∠BOC = π/4,
∠AOC = (π/4)×2　です。

(3)
これも、O を始点とするベクトルで考えるとよいです。
EB + ED + EF + EH = (OB - OE) + (OD - OE) + (OF - OE) + (OH - OE)
= (OB + OF) + (OD + OH) - 4 OE
= 0 + 0 - 4(-OA)
= 4 OA.

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

alice_44

ああ、確かに。学年が不明だから、
弧度法は未習かもね。

貴方が中学生なら、A No.1 文中の
2π は、360゜に置き換えて読んでください。

あと、正八角形の図は、必ず描いて、
眺めながら読んでね。

回答No.2

info22_

(1)
∠AOB=360°/8=45°より
OA↑・OB↑=OA*OBcos45°=1*1/√2=1/√2 or =√2/2

(2)
∠ABC=180°-∠AOB=135°
AB=2*OA*sin(∠AOB/2)=2sin(45°/2)=BC
より
AB↑・BC↑=4(sin(45°/2))^2*cos135°
　=2(1-cos45°)*(-cos45°)
　=-(2-√2)/√2
　=1-√2

(3)
EB↑＋ED↑＋EF↑＋EH↑
=(ED↑＋EF↑)＋(EB↑＋EH↑)
対称性および∠EBA=90°より
={2*DEcos∠OED+2*BEcos∠OEB}(OA↑/OA)
={2*ABcos((3/2)45°)+2*AEcos((1/2)45°)}(OA↑/OA)
={4sin((1/2)45°)cos((3/2)45°)+4cos((1/2)45°)}OA↑
=4{sin((1/2)45°)cos((3/2)45°)+cos((1/2)45°)}OA↑
=[4cos(22.5°){4cos^2(22,5°)sin(22.5°)-3sin(22,5°)+1}] OA↑
ここに
cos(22.5°)=√{(1+cos(45°))/2}=√(2+√2)/2
sin(22.5°)=√{(1-cos(45°))/2}=√(2-√2)/2
を代入して式を整理すればよい。

お礼

ありがとうございました！