三角形ABCの外接円の中心をOとするとき次のことを示せ。 OAベクトル

質問

三角形ABCの外接円の中心をOとするとき次のことを示せ。 OAベクトル＋OBベクトル＋OCベクトル＝OHベクトルである点Hをとると、Hは三角形ABCの垂心である。 という問題で、 解答として

(1)三角形ABCが直角三角形でないとき
(2)三角形ABCが直角三角形であるとき

と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
その証明の仕方を教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
なぜ、このように考えましたか？

まず、いまの問題で与えられている条件を整理してみてください。
・「三角形ABCの外接円の中心をOとする」⇒ OA＝ OB＝ OC
・OAベクトル＋OBベクトル＋OCベクトル＝OHベクトル
・垂心とは、各頂点から対辺に対して引いた垂線の交点である。⇒垂線と辺は直交する。

これらの条件を組み合わせるだけで証明はできますよ。＾＾

お礼

三角形ABCが直角三角形の時は（たとえば∠A=90度）
HとAが一致するけれど、
三角形ABCが直角三角形ではない時は
一致しないから、それで何か場合分けしなければならないと思ったのですが…

必要なかったみたいですね。
解決しました。

回答ありがとうございました＾＾

回答No.2

OKXavier

ヒントです。

OA=a,　OB=b,　OC=c,　OH=h
とすると、（矢印は省略します）
仮定から、

a+b+c=h　‥‥(1)

また、Oは外接円の中心だから、
|a|=|b|=|c|　‥‥(2)

示すのは、(1)(2)を用いて、
AH⊥BC,　BH⊥AC,　CH⊥AB
です。

これらは内積で、
AH・BC=0,　BH・AC=0,　CH・AB=0
ですね。これを示せばいい。

因みに、AH・BC=(h-a)・(c-b)
後は計算するのみ。

お礼

回答ありがとうございました＾＾