ベクトルの問題

質問

簡単な問題だと思うのですが次の証明が分かるので教えてください。
問題
三角形ABCの内心をI、外心をO、垂心をH、重心をGとする。三角形の三辺の長さをBC=l,CA=m,AB=nで表すことにする。
(1)
OI(→)＝lOA(→)+mOB(→)+nOC(→)/l+m+n
を示せ。

(2)
OG(→)＝OA(→)+OB(→)+OC(→)/3
を示せ。

(3)
OH(→)＝OA(→)+OB(→)+OC(→)
を示せ。

以上三問の証明です。
なおベクトルOAの場合OA(→)と示しています。 （これが正式な表記法かどうかは分かりませんが）

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

こんにちは。(１)と(３)は答えが分かってないとできない解き方ですが…
(1)
OI(→)＝{lOA(→)+mOB(→)+nOC(→)}/(l+m+n)
を満たすような点Ｉをとり、
ＡＩの延長とＢＣの交点をＤとおきます。
BI(→)＝OI(→)－OB(→)
＝{l(OA(→)-OB(→))+n(OC(→)-OB(→))}/(l+m+n)
＝{lBA(→)+nBC(→)}/(l+m+n)
ｋを実数とすると
BD(→)＝kBI(→)と表せる。
BD(→)＝{kl/(m+n+l)}BA(→)+{kn/(m+n+l)}BC(→)
Dは線分AC上にあるので、
kl/(m+n+l)＋kn/(m+n+l)＝1
⇔k=(m+n+l)/(n+l)なので、
BD(→)＝{lBA(→)+nBC}/(n+l)
よって、AD：DC=n：l＝AB:BC
ゆえに、∠ABD＝∠CBD⇔∠ABI＝∠CBI
同様に、∠BAI＝∠CAI、∠BCI＝∠ACI
であるから、Iは△ABCの内心である。
∴OI(→)＝{lOA(→)+mOB(→)+nOC(→)}/(l+m+n)

(2)
BCの中点をMとおくと、
OM(→)={OB(→)+OC(→)}/2
AG:GM=2:1なので、
OG(→)=(2OM(→)+OA(→))/3
={OA(→)+OB(→)+OC(→)}/3

(3)
OH(→)＝OA(→)+OB(→)+OC(→)
を満たすような点Hをとると、
AH(→)・BC(→)＝{OA(→)+OB(→)+OC(→)-OA(→)}・{OC(→)-OB(→)}
＝{OB(→)＋OC(→)}・{OC(→)-OB(→)}
＝|OC(→)|^2-|OB(→)|^2
Oは外心なので、｜OC(→)｜＝｜OB(→)｜であるから、
AH(→)・BC(→)＝０
同様にBH(→)・AC(→)＝０、CH(→)・AB(→)＝０
となるから、点Hは垂心である。
∴OH(→)＝OA(→)+OB(→)+OC(→)

お礼

親切にご回答本当感謝します。長い問題なのにすいません。助かります。

回答No.2

eatern27

#１です。訂正です。
(１)の５行目の
＞ＡＩの延長とＢＣの交点をＤとおきます
BIの延長とACの交点をＤとおきます
としてください。