有限要素法での梁の解法

質問

こんばんわ。
片持ち梁の問題を解いていたところ、よくわからないところが出てきました。
調べたところ有限要素法で解くことが分かったのですが、
有限要素法の初心者なので、参考書を頼りにやってみても問題の誘導と解法が違い困っています。
どなたかご教示よろしくお願いします。

長さL、曲げ剛性EIの梁の左端Aに鉛直荷重V_A、反時計周りのモーメントT_A、右端Bに鉛直荷重V_Bと反時計周りのモーメントT_Bが作用している。
左端A、右端Bのたわみとたわみ角をそれぞれw_A、θ_A、w_B、θ_Bとし、w_B、θ_Bを以下の形で求めよ。
ただし、(1)式の第1項ははりの剛体変形を表し、第2項は弾性変形によって生じたものとする。

{w_B}=[* *]{w_A}+{Δw}　　─(1)式
{θ_B}=[* *]{θ_A}+{Δθ}

分かりにくくてすみません。上の式は行列表示です。
上下の括弧をひっつけて1行としてみてください。
ただし文の剛体変形、弾性変形にわけて考えているみたいですが、なぜ分ける必要があるのか、
というよりどうやって分けるのかも分かりません
Δw、Δθの扱い方、算出の仕方、考え方、そのあたりでつまづいています。

すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

my3027

これが既に要素であるとすれば、基本的な梁の偏微分方程式(オイラー・ベルヌーイかティモシェンコ梁)を部分積分により積分方程式に書き直し、パラメータとして回転角度と変位量を採用した行列式だと思います。

E-Bはりはw'はスロープ、EIw''はモーメント、EIw'''はせん断力に関連してきます。基本的に偏微分方程式はwの4次微分となります。ティモシェンコは角度をパラメータに取るので微分次数は下がります。その意味でこの問題は後者のモデルを分割したものかも知れません。

ただ式の物理的な意味は類似式を見た覚えはありますが、今手元にありませせん。また、剛体変形という物の定義がわかりませんので、余りアドバイス出来ません。

まず上述の梁の偏微分方程式から、テスト関数をかけた積分方程式に書き直し、それを形状関数で要素レベルに書き換え、全体剛性方程式をくみ上げ、境界条件を適応して解くという流れになりますから、その流れを確認する事をお勧めします。

お礼

返事が遅くなりすみませんでした。

アドバイスありがとうございます！
まずその通りに考えていきたいと思います。
また何か分からないところが出てきましたら、質問させていただきます。
ありがとうございました。、

回答No.1

my3027

>ただし文の剛体変形、弾性変形にわけて考えているみたいですが、なぜ分ける必要があるのか、というよりどうやって分けるのかも分かりません。

まず剛体変形ではなく剛体移動では無いでしょうか？剛体は変形しませんから、基準座標からの移動量=剛体移動+変形という事だと思います。

あと式の概要としては、左辺の移動量(上行)なり回転量(下行）と他の側の値との関係を行列で関係付け、剛体移動を足した式です。有限要素法とは関係のない、材料力学で使われる行列手法の一つだと思います。

有限要素法は要素を分割し、梁の微分方程式を積分方程式に置き換え、形状関数で境界条件を結ぶ最適な解を近似する方法です。

補足

ご回答ありがとうございます．

問題文には剛体変形と書いてありまして，おそらく図は分割後の要素を表していると思います．
問題の後半で全体の梁としての問いがあるので．

私も最初は単なる行列表示だと思い計算を進めていったのですが，
Δw，Δθで式をどうやって表したらよいかが分かりませんでした．
Δθ=θ_B-θ_A　でいいと思いますが，Δwについてはよく分かりませんでした．
色々悩んでいるうちに剛体変形と弾性変形の違いとはなんだろう等々悩み始めてしまいまして・・・

仰る通り材料力学の範囲で解いてみたのですが（微分方程式），Δw，Δθがw_B，θ_Bの式の中に入ってこないのです．
無理矢理な変形をすれば別なのかもしれませんが．