図形と方程式の問題

質問

直線l: y=ax-2…(1) と円C:x^2＋y^2＝１…(2)について次の問いに答えよ。
｛1｝直線ｌが円Cに接するとき、接点の座標を求めよ。
｛2｝直線ｌが円Cに接するとき、ｌと平行な直線ｍが円Cと2つの共有点A,Bをもつとする。線分ABの長さが√2であるとき、直線ｍの方程式を求めよ。

という問題です。
｛1｝は(1)式を(2)式に代入して、D=0として計算して、a=±√３という答えが出てきました。これは関係ないでしょうか？
｛2｝はよくわかりません。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

sibacho · ベストアンサー

えっと、｛１｝でaが２通りでるのは２通り考えれるからですよ。図を描いたら分かりますが、２本あります。
｛２｝ですが、図を描けば分かりますが、円に２つの共有点を持つ直線を書いてください。で、その共有点A,Bと中心Oで三角形を作ってください。ABの長さが√２なので、ABの中点Cと中心をむすんで、さっきの三角形ABOをACOとBCOに分けます。
AOとBOは半径の長さなので1となり、OCの長さは、三平方の定理から、CO=＋√(AO^2-AC^2)となります。
で、点と直線の公式にその長さを代入すれば答えが求まります

回答No.2

noname#17965

（１）答えは合っていますが、導出でちょっと迷いがあるようですね。詳しく説明します。
接点の座標を（ｘ０、ｙ０）とおくと、接点は直線上の点でもあるし円周上でもあるので、２つの方程式の両方を満たします。すなわち
y0=ax0-2
x0^2+y0^2=0
の連立方程式の解となります。ｙを消去するとx0の２次方程式になります。ここで判別式Ｄ＝０を使っていますが、これは交点ではなくて「接点」だからです。つまり直線と円は１点で接します。だから解は１個のはずなのでＤ＝０です。

・・・で解いた答えがナンデ２個あるんだ！！！というのはまことにもっともな疑問ですが、回答は＃１にある通りです。