統計について

質問

統計について質問があります。
変化率を求める際に、「ログの差をとる」とはどういうことですか。
やり方はわかりますが、なぜログを取る意味がわかりません。
どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

incd · ベストアンサー

通常、x(0)からx(1)への変化率というと
[x(1)-x(0)]/x(0)
で定義しますよね。

logの差、つまり
log[x(1)]-log[x(0)]
はその近似です。
テイラー展開を利用しています。

使われている近似の公式は
log(1+r)≒r
です。つまり、
r = [x(1)-x(0)]/x(0)
と置くと、
log[x(1)]-log[x(0)]
= log[x(1)/x(0)]
= log[ (x(1)-x(0))/x(0) +1]
= log(1+r)
≒ r
という感じです。

logの差で変化率を定義することの１つのメリットは、r%の増加の後にr%の減少があった時に、ちゃんともとの値に戻ってくるという点です。通常の定義だと若干の誤差が出ます。例えば、消費税5%を足して（値段を1.05倍して）から5%割引（さらに0.95倍）しても原価に戻らないのと同じです。一方logの差で定義すると、
log[x(1)]-log[x(0)]=r
log[x(2)]-log[x(1)]=-r
ですから、両辺を足して
log[x(2)]-log[x(1)]=0
つまりx(2)=x(1)となります。