関数の極限の証明

質問

lim x^=4 (x→2)を証明せよ。という問題で、解答には

任意の正の数εに対して，0＜|x-2|＜δ ならば，|x^-4|＜ε となるようなδを見つければよい。
0＜|x-2|＜δ ならば、
|x^-4|=|(x+2)(x-2)|=|(x-2)+4|*|x-2|≦|x-2|^+4|x-2|＜δ^+4δ
よって，δ として，1かε／5の小さいほうをとれば，
ε≧5ならば δ=1で，|x^-4|＜δ^+4δ≦ε
ε≦5ならば δ=ε／5で，|x^-4|＜δ^+4δ＜5δ =ε
すなわち，|x^-4|＜ε となる。

と書いてありました。
|x^-4|＜δ^+4δ となるところまでは，分かるのですが、δとして1かε／5の小さいほうをとれば…以下が分かりません。
そもそも、どのように考えてδ に1とかε／5が出てくるのでしょうか？
出来るだけ丁寧に教えてください。お願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

No.2の補足
> δ^2+4δ≦100δ は
> δ≦0.1
> 出なくても言えそうだと思うのですが…。
> 例えば、δ＝１とかでも…。

まさにそこがポイントですね。「必要条件、十分条件」という概念の把握が重要です。

まず、
「どんなδ＞0であっても、δ≦1であればδ^2+4δ≦100δである。」
という命題は真です。
δ≦1であればδ^2+4δ≦100δどころかδ^2+4δ≦5δじゃないか！というのが反論にはならない、って事はお分かりのようです。
必要条件、十分条件、という概念を使って言い換えると：δ＞0のとき、
『δ≦1』は『δ^2+4δ≦100δ』であるための十分条件、つまり
「『δ^2+4δ≦100δ』を満たすには『δ≦1』であればよい。ま、『δ≦1』でなきゃならんとは言わないけどね。」という意味ですし、
『δ^2+4δ≦100δ』は『δ≦1』であるための必要条件、つまり
「『δ≦1』を満たすには少なくとも『δ^2+4δ≦100δ』でなくちゃいけない。ま、『δ^2+4δ≦100δ』だけが条件だとは言わないけどね。」という意味です。

さて、
「どんなδ＞0であっても、δ≦0.1であればδ^2+4δ≦5δである。」
という命題は真です。
δ=1だってδ^2+4δ≦5δを満たすじゃないか！と反論しても、それは反論になっていません。δ≦0.1であるようなδについて語っているんであって、そうでないδについてはどうだって構わないからです。
必要条件、十分条件、という概念を使って言い換えると：δ＞0のとき、
『δ≦0.1』は『δ^2+4δ≦5δ』であるための十分条件、つまり
「『δ^2+4δ≦5δ』を満たすには『δ≦0.1』であればよい。ま、『δ≦0.1』でなきゃならんとは言わないけどね。」という意味ですし、
『δ^2+4δ≦5δ』は『δ≦0.1』であるための必要条件、つまり
「『δ≦0.1』を満たすには少なくとも『δ^2+4δ≦5δ』でなくちゃいけない。ま、『δ^2+4δ≦5δ』だけが条件だとは言わないけどね。」という意味です。

そういうわけで
「どんなδ＞0であっても、δ≦0.1であればδ^2+4δ≦100δである。」
という命題は真です。
δ=1のときδ^2+4δ≦5δが成り立つということとは関係なく、この命題は真である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
さて、ご質問に上げられた模範解答では、

「どんなδ＞0であっても、δ≦1であればδ^2+4δ≦5δである。」
という命題が出てくる。δ＞0のとき、
『δ≦1』は『δ^2+4δ≦5δ』であるための十分条件、
『δ^2+4δ≦5δ』はδ≦1』であるための必要条件ですね。
そしてまた、
『δ≦1』は『δ^2+4δ≦5δ』であるための必要条件、
『δ^2+4δ≦5δ』は『δ≦1』であるための十分条件でもある。

つまりたまたま、『δ^2+4δ≦5δ』と『δ≦1』は互いに必要十分条件になっているんです。このために例としてはあんまり適当とは思いませんでしたので、
「どんなδ＞0であっても、δ≦0.1であればδ^2+4δ≦100δである。」
を使ってご説明したわけです。

お礼

素晴らしい！！！
ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

（　x^　と書いてらっしゃるのはxの二乗、すなわち　x^2　のことのようですね。）

どうやら「ある条件を満たすものならナンデモ良い」という考え方にとまどっていらっしゃるように思われます。

では「どのように考えてδ に1とかε／5が出てくる」んだか、この模範解答を書いたひとの考えを想像してみましょう。

「任意の正の数εに対して，0＜|x-2|＜δ ならば，|x^2-4|＜ε」となるようなδを実際に作ってみせれば証明は出来上がりである。すなわち、εを与えたとき、δを決める規則を見つければよい訳です。

さて幾ら「任意のεについて」とは言っても、まず本気で考えなきゃならないのはεがうんと小さい場合ですよね。当然δだってうんと小さいに違いない。
それで、ちょっと式をいじってみたら
0＜|x-2|＜δ ならば |x^2-4|＜δ^2+4δ
という関係に気が付いたとしましょう。
δは小さいから
δ^2≦δ
である。よって
δ^2+4δ≦5δ
と言えます。だから
ε=5δ
であるようにδを選べばよいだろう。
答：　δ=ε/5
これでどうかな？
おとと、
δ^2+4δ≦5δ
が言えるのはδが小さいときだけだった。つまり
「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦5δ
である」とは言えない。これじゃダメですね。えと、どうするかな。
少なくとも
δ≦1
であるならば、「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦5δ
である」と言える。だからδ＞1にならないようにδを決めておけば問題なし。ならば
δ＝(1かε/5の小さい方)
としておけば十分だ。

てな感じでありましょう。

さて、全くおなじ流れにそって、こう考えても良いのです。

δは小さいから
δ^2≦δ
である。よって
δ^2+4δ≦100δ
と言えます。だから
ε=100δ
であるようにδを選べばよいだろう。
答：　δ=ε/100
これでどうかな？
おとと、
δ^2+4δ≦100δ
が言えるのはδが小さいときだけだった。つまり
「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦100δ
である」とは言えない。これじゃダメですね。えと、どうするかな。
少なくとも
δ≦0.1
であるならば、「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦100δ
である」と言える。だからδ＞0.1にならないようにδを決めておけば問題なし。ならば
δ＝(0.1かε/100の小さい方)
としておけば十分だ。

ほかにも例えば
δ=（1/30000 か ε^3+ε^7 の小さい方）
なんてのもアリです。そうとうヘソマガリですが。

No.1のご回答の繰り返しになっちゃいますが、
「どんなε＞0についても、|x-2|＜δであるなら|x^2-4|＜εであるようなδが存在する」
を証明するのが目的で、そのためにεからδを具体的に計算する方法を適当に決めてやる。
「どんなε＞0についても、そのεから計算したδについて、|x-2|＜δであるなら|x^2-4|＜εである」
を満たしさえすれば、εからδを計算するやり方はナンデモよい。ただ計算方法をどう決めるかによって、
「どんなε＞0についても、そのεから計算したδについて、|x-2|＜δであるなら|x^2-4|＜εである」
を証明するのが易しいかどうかが違う。それだけです。

この例題ではεからδを計算する方法は簡単に見つけられました。しかし、もっと難しい極限の証明では、δを巧妙に決めることが必要になってきます。

補足

ありがとうございます。
どうして，解答に１かε／５と書いてあったか分かりました。
さて、

δ^2+4δ≦100δ
が言えるのはδが小さいときだけだった。つまり
「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦100δ
である」とは言えない。これじゃダメですね。えと、どうするかな。
少なくとも
δ≦0.1
であるならば、「どんなδ＞0でも
δ^2+4δ≦100δ
である」と言える。

ですが、
δ^2+4δ≦100δ は
δ≦0.1
出なくても言えそうだと思うのですが…。
例えば、δ＝１とかでも…。
出来れば、解説していただけないでしょうか。

回答No.1

kusokuzeshiki

ε-δですね。この論法はどんな小さい正数εがとられてもそれに対応したδがあればよく、良くある手としてはδがεの関数になるように「自分で適当に作り出す」ことだと思います。「1かε／5の小さいほう」というのがまさにこの回答作成者が「自分で適当に作り出した」δであって、絶対にこれでなければならないということはないと思います。δは何らかの式変形で導きだすものではなく（可能なこともありますが）、関数の性質とか考えて自分で決めればよいのです。本によって、違うδをとっていることもありますよ。この「自分で決める」のが難しく、私などはセンスのなさをなげくばかりです。

お礼

有難うございました。
とても参考になりました。