【数学】：極限値の問題の証明について

質問

この問題がわからないので教えてください。

次を証明せよ。
lim f(x)=0　　⇔　　lim |f(x)|=0　(aは±∞でもよい)
x→a　　　　　　　　 x→a

「自明だ」と言われてしまい証明に困っています…
どなたかお願い致しますｍ（ _ _ ）ｍ

回答No.1

vingbing · ベストアンサー

lim f(x)=0 (x→a)
とは、任意のε>0に対して
あるδが存在して、
|x-a|<δ　なるxのときに　
|f(x)|<ε
となっていることと同じで、
これは、
f(x)=|f(x)|としても成り立つので、
証明されるのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.3

noname#57316

-f(x)　が定義されるのであれば
lim f(x)=0
x→a　
が成立する場合
lim {-f(x)}=0
x→a
も成立します。
これらは　|f(x)|　を、f(x)　が正の場合、及び負の場合、
それぞれに場合分けした時の結果になっているので、
lim |f(x)|=0
x→a
も成立します。

お礼

問題を解き終わってしまった後でしたが大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

zk43

lim(x→a)f(x)=0ということは、x→aのとき、f(x)と0の距離|f(x)-0|
が0に収束するということです。
極限値が0でない場合も、lim(x→a)f(x)=bとは、lim(x→a)|f(x)-b|=0
ということです。これが定義です。
質問ではb=0の場合です。
左のlim(x→a)f(x)=0における0はf(x)の極限値、
右のlim(x→a)|f(x)|=0における0はf(x)と0との距離の極限値と考える
と良いと思います。

高校ではε-δ論法という極限の厳密な定義はやらないので、この定義
で十分と思います。

お礼

一応大学の解析学の授業だったんです…＾＾；
わかりやすい説明ありがとうございました。