イプシロンデルタ論法の証明について

質問

中学生です。まだ自分で読んだ程度なので未理解な部分もありますが、
自分で勝手に作った以下の話は解釈として正しいのでしょうか。

任意の正の数 ε に対し、ある正の数 δ が存在し、
0 < |x − a| < δ を満たせば、|f(x) − b| < ε が成り立つ。
これがイプシロンデルタ論法ですよね。
本には、εを適当に選んだら、δはそれに応じて選ぶもの
と書いてあったんですが、つまりこれは、
δを一つ決めるときに行う計算（普通参考書には書いてない？）は、
0 < |x − a| < δが必要条件になり、
実際のイプシロンデルタ論法で行う証明では、必要十分条件であること
を示そうとしている、と考えていいのでしょうか。
wikipediaにもあったんですけど、lim[x→2]x^2＝4を示すやり方
でも、おそらく|x^2-4|＜εからδ＝√(ε+4)-2を導いて、
証明では|x-2|＜δから|x^2-4|＜εを導いていますよね。
どこか勘違いしているようにも感じるんですが、
この解釈が正しいのかどうか、説明も兼ねてどなたか説明を
お願いできませんか。よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#101199 · ベストアンサー

Tacosanさん達のおっしゃる通りです。
イプシロンデルタはわかりにくく、何かの拍子にフッとわかるかもしれないんで、一応私も解説を試みます。
他の方たちが既に一般的な説明をなされているので、私はちと具体的な例も提示しましょう…

確かに
0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - b| < ε
を証明すればよいんです。ですが証明の際,注意すべきことは
「δではなく、まず最初に"ε"が与えられている」ことです。
たとえばε=0.001だとします。
すると|f(x) - b| < 0.001を満たすように
0 < |x - a| < δのデルタをテキトーに選んでやればよいことになります。もしこんなδが１つでも存在すれば0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - b| < εが成り立って、条件成立です。
しかしもし、εより先にδをテキトーに決めてしまった場合、
0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - b| < εをはずすように、めっっっちゃ小さいεが存在してしまえばそこで,もう条件が外れてしまいます。
δはただ1個だけでも存在すればいいんですが、εは任意に存在しなくてはいけません。どんなεに対してでも成り立たなきゃいけないんで、まずεありき で証明を考えていきます。

つまりは、
ε>0がどんなに無理難題をおしつけても、
0 < |x - a| < δ ⇒ |f(x) - b| < ε
を満たすδ>0をこちらは用意することができますよ。　ということを証明すればいいんですね。こちらは十分条件さえ示せればOKです。

仮にx→1なら、x^2→1を示すとしましょう。
すると、|x^2-1|≦|x-1|^2+2|x-1|なので、
0<|x-1|<δ⇒|x^2-1|<δ^2+2δ(<ε)
を満たすようなδ>0が存在することを示せばよいです。
つまり、δ^2+2δ<εで十分です。（ここ,わかりにくいかも・・？）
δについては、たった１つだけ、十分条件さえクリアできればよいんです。
だから、こちらが勝手に0<δ<1と条件を増やしてしまってもかまいません。
すると、δ^2+2δ<δ+2δ<3δ<εとなりますから、
ε=min{1,δ/3}と、εをとってやれば、十分条件が示せることになります。

お礼

あとすいません。間違っていたら恥ずかしいのですが、
ε=min{1,δ/3}
は
δ=min{1,ε/3}
の間違いですか。
ちょっと混乱してしまったので、確認をできれば
お願いしたいと思います。

補足

すごく丁寧にわざわざありがとうございました。
質問なのですが、
＞＞つまり、δ^2+2δ<εで十分です。（ここ,わかりにくいかも・・？）
ここは単に|x^2-1|＜εの間に挟んだんですよね。
＞＞たった１つだけ、十分条件さえクリアできればよいんです・・・
たったひとつというのはδ^2+2δ<εのことですか？
それから
ε=min{1,δ/3}という表現が本にもあったんですが、
いったいどういう意味なんですか。全然説明がないので
分かりませんでした。
すみませんもう一度お願い致します。

回答No.7

Tacosan

あ～, 今の場合 δ = ε/3 はダメですね. 計算間違えた....
δ = ε/5 とすると
(2±δ)^2 = 4 ± 4δ + δ^2 = 4 ± (4/5)ε + ε^2/25
で εが十分小さければ ε^2/25 < ε/5 としていいから
|(2±δ)^2 - 4| < ε
であることは確認できると思います. あとは x^2 の関数形からいける.
δ を求める計算が書かれていないのは, 「|x-2| < δ → |x^2-4| < ε」を満たしさえすればよく, ある意味で「てきと～に決めればいい」から.

回答No.6

motari

「一つのεにたいし一つのδを上手く選んだ。
でもεより小さいε'に対しては前のδでは駄目かもしれない。
それではまた上手くいくδ'を選んでこよう。」

これを適当なy=f(x)の図を描いて試してみてください。
やってみれば分かりますが、上のようなことを全ての実数εに対して逐一行っていくのは不可能です。
従ってεを決めてしまえばδも自動的に決まってしまって、さらにδが上手くとれていればよい、ということになります。

図を書いて試してみることでεδ論法が何を言っているのかつかめるはずです。

例えばf(x)=x(xが0未満のとき),f(x)=x+1(xが0以上のとき)にたいして、(a,b)=(0,0)(0,1)のそれぞれの場合どうなるか、等。
εδ論法で絶対値を付けなかったらどうなるか、なんかも考えてみてください。

※ちなみにmin{a,b}はa,bの小さい方の値(厳密には大きくない方といいます)、
max{a,b}は大きい方の値(小さくない方)です。

回答No.5

noname#111804

中学生ですか。中学生で大学で習うδ、ε論法を知っているのですか？

この「δ、ε論法」実は恥ずかしながら、私はよくわかっていません。
しかし、結果として言えることは、よくできた定義だと言うことです。

関数の連続性を言うとき、その間には無限という
”魔物”が存在します。

これをピタリと言い当てたのがこの「δ、ε論法」です。
この「δ、ε論法」は否定の否定と言う構造をとっています。

あなたが、否定で攻めてきなさいと言うことです。
そしたら、私は貴方の否定を否定して見せます。」と言うわけです。

補足

εーN論法ですとか、そういったものはあっさりわかるんですけど、
δになると人に聞かないと限界でした。
なるほど日本語で言うとそのような表現方法がありましたか。
ありがとうございました。

回答No.3

gef00675

まず、「0 < |x - a| < δ」は、「|f(x) - b| < ε」であるための十分条件として要求されているということ。必要条件ではないよ。

lim[x→2]x^2＝4は、なにも0 < δ < √(ε+4) -2
とまで精密に評価しなくても、x=2におけるy=x^2の接線の傾きを考えれば
δ<ε/2
のようなδであれば十分。もちろん、それより小さいδ（δ<ε/3とかδ<ε/4）をとっても全然差し支えない。不等式の示し方はいろいろ考えられるので、単に不等式の成立を示す都合でδの式を決めたらいい。だから、どうやってδの式を出してきたのかは、あまり重要ではなく、書いても意味がないので、証明には書かないのが普通。
とはいっても、そういう風に細部を読者に任せてしまう数学書は初学者には不親切な点が多いのも事実なので、いろんな本を見てみるといいと思う。

補足

すいません、僕は、普通証明に書いていない
εからδを決定するという行為で、
「|f(x) - b| < ε」から「 |x - a| < δ＝εの式」
と導いているかもしれないから
「 |x - a| < δ＝εの式」
が必要条件かと考えたと書いたつもりでした。

なるほど、まだ不完全ですが、なんとなくわかった気はします。
ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

任意の正の数 ε に対し、ある正の数 δ が存在し、
x が |x - a| < δ を満たせば、|f(x) - b| < ε が成り立つ。
これが、イプシロンデルタ論法「 による lim[x→a] f(x) = b の定義 」です。

δが、存在しさえすればよいので、δは、各εに対して、ひとつには決まりません。
そのようなδの下限値は、εの関数になりますが、δ自体は、εの関数ではない。
一番小さいδを指摘しなくてもよいのです。

だから、必ずしも往ったり来たりして計算せずともよく、
パッと山勘でδがひとつ見つかってしまえば、εから逆算する必要はありません。
Wikipedia の記事も、その体裁をとっていて、δ = √(ε + 4) - 2 を何処から
思いついたのかは書いていませんね。この点が、「普通参考書には書いてない？」
という shin-mind さんの不満箇所なのでしょうが、本来そういうものなのです。

|x - a| < δ が |f(x) - b| < ε の必要十分条件となるような δ を
求めるのではない　ということは、是非わかっておくべき事項です。

lim[x→2] x^2 = 4 の例で言えば、δ = √(4 + ε) - 2 でなくても、
δ = √(1 + ε/4) - 1 でも、δ = (1/4) log(1 + ε) でも、何でもよい。

とは言え、パッと山勘でδを見つけるのは大変なので、
不等式 |f(x) - b| < ε を解く計算を進めながら、途中で条件を適当に狭めて、
それを |x - a| < δ とするのが普通です。
必要条件ではなく、十分条件としての |x - a| < δ を求める作業です。

お礼

はい、確かにおっしゃる通りで、
ただ一通りだという受験数学的な考え方が身に付いたままでした。
反省したいと思います。
わかりやすい説明をありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

0 < |x - a| < δ → |f(x) - b| < ε を示す必要があるので, 前件は後件の十分条件でなければなならないが必要条件である必要はない.
例えば lim[x→2]x^2＝4 を示すときでも, 「そのように δ を設定しなければならない」ということはない. |x-2| < δ から |x^2-4| < ε が示せればいいだけなので, (十分小さな ε に対し) δ = ε/3 と置いてもいい.

補足

こちらでも回答ありがとうございました。
δ = ε/3 とすると |x^2-4| < εの形にならないですけど、
εは任意としているので他に定数とかがついていても問題
ないということでしょうか。
ちょっと説明が高度でしたので理解が乏しいです。
もう一度お願いします。