極限のおもしろい証明問題。

質問

aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？

回答No.1

mitoneko · ベストアンサー

r<1のとき、lim(n→∞)r^n=0　は、既知のものとする。
|a|より大きな自然数Mを一つ固定する。すると、|a|/M<1となるので、
lim(n→∞)(|a|/M)^n = 0　となる。
したがって、任意に与えられた正実数εに対して、自然数Nで、Nより大きい任意の自然数nについて、
(|a|/M)^n < (M!/(M^M))ε
となるNが存在する。すると、このようなnのうち、Mより大きなものについては、
|(a^n/n!)-0|=|a|^n/n! < ((|a|^n)/M!)(|a|/M)^(n-M) = (M^M/M!)(|a|/M)^n < (M^M/M!)(M!/M^M)ε=ε
が成り立つ。(与式をMを基準に分け、先の式を代入して整理した。)
これは、lim(n→∞)(a^n/n!)=0であることを示している。
以上。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。
！

回答No.3

muturajcp

k>2a
となる自然数kがある

任意のε>0に対して
n_0>k+(2a)^k/k!/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>n_0>kだから

|a^n/n!|
=a^n/n!
=(a^k/k!)Π_{j=k+1～n}(a/j)
↓k<j<2a→a/j<1/2だから
<(a^k/k!)/2^(n-k)
=(2a)^k/k!/2^n
<(2a)^k/k!/n
<(2a)^k/k!/n_0
<(2a)^k/k!/{(2a)^k/k!/ε}
=ε
↓
|a^n/n!|<ε
∴
lim_{n→∞}a^n/n!=0

回答No.2

gamma1854

x[n]=a^n/n!, (a>0) とします。
x[n]=(a/1)*(a/2)*(a/3)*****(a/n)=x[n-1]*(a/n). ですから、
nが大きくなっていきa を超えると a/n<1 となり、
x[n]>x[n+1]>x[n+2]>....
しかし、x[n]>0 ゆえ、{x[n]}は下に有界 (lim x[n]=α (>0)が存在)。
lim x[n+1]={lim x[n]}*{lim a/(n+1)}=0.