関数の極限（はさみうち）

質問

x+［x］
lim　――――
x→∞　x+1
この極限値を求めよ。という問題です。

解答があり、1行目に
[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１であるから、ｘ－１＜[ｘ]≦ｘ
とあるのですが、この意味がよくわかりません。

回答いただけると助かります。宜しくお願いします

回答No.1

kochory · ベストアンサー

[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１を
[ｘ]≦ｘ　と　ｘ＜[ｘ]＋１　に分けて考えてください。
後者の両辺から１を引けば　ｘ－１＜[ｘ]　になります。
これと前者を組み合わせればｘ－１＜[ｘ]≦ｘが得られます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１を
[ｘ]≦ｘ　と　ｘ＜[ｘ]＋１　に分けて考えてください。

そうゆうことだったのですか！本当にありがとうございました。助かりました

回答No.2

springside

まず、そもそもの発想として、『[x]はよくわからないから、わかるような形に変換しよう』ということですよね。

[x]は、「xを超えない最大の整数」なので、[x]≦x＜[x]+1となります。例えば、x=2.34とすると、[x] = [2.34] = 2なので、

　[2.34]≦2.34＜[2.34]+1
　　↑　　　　　　↑
　　2です　　　　2です

となります。

[x]≦x＜[x]+1という不等式は、
　[x]≦x・・・(1)
　x＜[x]+1・・・(2)
という２つの不等式が組み合わさったものですが、(2)を変形すると、
　x-1＜[x]・・・(2)’
となりますから、(1)と(2)’を組み合わせて、
　x-1＜[x]≦x
となります。

これを、極限を求めたい式に代入すれば、
(2x-1)/(x+1) ＜ (x+[x])/(x+1) ＜ 2x/(x+1)
となり、最左辺、最右辺がともに2に収束するので、求めたい極限は2となります。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
よく理解することができました。