関数の極限

質問

次の関数の極限の求め方で困っています。

lim(x→∞)xe^(-x^2)

わかりにくい書き方で申し訳ありません。
本来関数の最大最少を求める問題だったのですが、解答中にこの極限を求める必要があるのですが、解答は解説なく=0としていて、どのように求めたのかがわかりません。
置き換えなど試してみたのですがさっぱりです。

お願いいたします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

xe^(-x^2) = x/e^(x^2) ≦ x/(1+x^2).

あるいは ∫(x: 0→∞) xe^(-x^2)dx = 1/2 から.

お礼

迅速な回答ありがとうございます。

すみません、勉強不足で上記の不等式をどう導出したのかわかりません…。
詳しく教えていただけると嬉しいです。

回答No.4

info22_

e^xのマクローリン展開は
e^x=1+x+(1/2)x^2+ …
x>0で e^x>1+x ⇒ 1/e^x<1/(1+x) ⇒ 1/e^(x^2)<1/(1+x^2)
⇒ xe^(-x^2)=x/e^(x^2)<x/(1+x^2)

したがって
lim(x→∞)xe^(-x^2)≦lim(x→∞)x/(1+x^2)=lim(x→∞) 1/(x+(1/x))
　=lim(x→∞) 1/(x+0)=lim(x→∞) 1/x = 0

x>0のとき xe^(-x^2)>0 なので
lim(x→∞)xe^(-x^2) = 0

お礼

テイラー展開を用いたものですね。
しかし、高校範囲内の方法で答えを出せないでしょうか。

回答No.3

Tacosan

x ≧ 0 なら e^x ≧ 1+x.

お礼

その不等式はどのように導式すればよいでしょうか。
不勉強ですみません。

回答No.2

spring135

ロピタルを使います。

L=lim(x→∞)xe^(-x^2)＝lim(x→∞)e^(-x^2)/x^(-1)

分子分母をxで微分して

L=lim(x→∞)(-2x)e^(-x^2)/[-2x^(-2)]=lim(x→∞)e^(-x^2)/x=0

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、ロピタルの定理は参考書に参考として載っていました。
しかし、高校範囲外なのであまり使わないほうがよいと書いてありました。
それ以外に求める方法はないのでしょうか。