関数の極限

質問

「３次関数f(x)が次の２つの条件を満たすとき、f(x)を求めよ。」
[1]lim(x→０){f(x)/x}＝１
[2]lim(x→１){f(x)/x－1}＝１
☆数(2)の微分のところなんですが、解き方が全然分からないので、なるべく詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

[解答その１]
[1]より
x→０のとき分母→0より, 有限な極限値が存在するためには,このとき分子→0が必要.
よって lim(x→０)f(x)＝0
[もしわかりにくければ,
lim(x→０)f(x)=lim(x→０)[x・{f(x)/x}]=0*1=0
などと証明]
するとf(x)は3次関数なので, f(0)=0 となり, 因数定理よりf(x)はxで割り切れる.

同様に条件[2]より lim(x→1)f(x)＝0 つまり f(1)=0 もいえて, f(x)は(x-1)でも割り切れる.

以上より, 3次関数f(x)は f(x)=x(x-1)(ax+b) [a,bは定数でa≠0]
と表せて,
条件[1]より lim(x→０){f(x)/x}=lim(x→０)(x-1)(ax+b)=1 ⇔ -b=1
条件[1]より lim(x→１){f(x)/(x-1)}=lim(x→１)x(ax+b)=1 ⇔ a+b=1

この2式より, a=2, b=-1
よって　f(x)＝x(x-1)(2x-1) ・・・(答)

[解答その２（普通の？解答）]
最初からf(x)＝ax^3+bx^2+cx+d [a≠0]の形において解くのが一番平凡で，
そうすると条件[1]より （先ほどと同じように）
x→０のとき分母→0より, 有限な極限値が存在するためには,　分子→0が必要なので　d=0
このとき lim(x→０)(ax^2+bx+c)＝１ より　ｃ=1

条件[2]より 先ほどと同じように分子→0が必要なので　
このとき lim(x→１)(ax^3+bx^2+x)＝0 より　a+b+1=0
b=-(a+1)より　f(x)=ax^3-(a+1)x^2+x=x(ax-1)(x-1)
すると条件[2]より lim(x→１)x(ax-1)=1　⇔　a-1=1
よって　a=2, b=-3
f(x)=2x^3-3x^2+x ・・・(答)

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございます。両方の解き方でこの問題を解いてみたら理解できました。私はまだこういう問題に不慣れなので何度も繰り返し解いてみようと思います。ありがとうございました。