積分

質問

{exs(iKr)-exs(-iKr)}exs(-μr)/(iKrμ^2)
と
{exs(iKr)-exs(-iKr)}exs(-μr)/(iKr^2μ^3)

のrの積分。積分範囲は０→∞です。
どういった方法ならうまくできるでしょうか？

要はexs(ar)/(ra^2)もしくはexs(ar)/(r^2a^3)の積分なんです。
exs(ar)/rならできたんですけど・・・

本当に取っ掛かりだけでもどなたかよろしくお願いします！

回答No.3

mmky · ベストアンサー

余計かもしれませんが、参考程度に
∫[0→∞]{exp＾(-az)(sinz/z)}dz

a>0, sinz=e＾iz
∫{exp＾(-a|z|)(e＾iz/z)}dz
lim[z→0]z*{exp＾(-a|z|)(e＾iz/z)}=1 :留数
z=0 を外した半円を積分区間にすると、
円弧の上では、z=Re＾iθ, R→∞、{exp＾(-az)(e＾iz/z)}→0
ということで、x軸上のみで考えればよい。z=0, で留数＝1　故
∫[-r→-ε]{exp＾(-a|x|)(e＾ix/x)}dx+∫[+ε→+r]{exp＾(-a|x|)(e＾ix/x)}dx-πi=0
∫[r→ε]{exp＾(-a|x|)(e＾-ix/-x)}d(-x)+∫[+ε→+r]{exp＾(-a|x|)(e＾ix/x)}dx-πi=0
∫[ε→r]{-exp＾(-a|x|)(e＾-ix/x)}dx+∫[ε→r]{exp＾(-a|x|)(e＾ix/x)}dx-πi=0
∫[0→∞]{exp＾(-ax)}(2i){sinx/x}dx-πi=0
∫[0→∞]{exp＾(-ax)}(2i){sinx/x}dx=πi
∫[0→∞]{exp＾(-ax)}{sinx/x}dx=π/2
同様に
lim[z→0]z＾2*{exp＾(-a|z|)(e＾iz/z＾2)}=1 :留数
∫[0→∞]{exp＾(-ax)}{sinx/x＾2}dx=π/2

(1)--(2/μ^2)∫[0→∞]{exp＾(-az)(sinz/z)}dz =(π/μ^2)
(2)--(2K/μ^3)∫[0→∞]{{exp＾(-az)(sinz/z＾2)}dz =(πK/μ^3)

こんな感じになるなかな？
参考程度まで

お礼

すみません最後まで解いてもらってしまって。本当にありがとうございました。

回答No.2

mmky

参考程度まで

sinz=(1/2i){exp＾(iz)-exp＾(-iz)}
z=Kr, r=z/K, a=μ/K

{exp＾(iKr)-exp＾(-iKr)}exp＾(-μr)/(iKrμ^2)
=(2/μ^2){exp＾(-az)(sinz/z)}
=(2/μ^2)∫[0→∞]{exp＾(-az)(sinz/z)}dz

{exp(iKr)-exp(-iKr)}exp(-μr)/(iKr^2μ^3)
=(2K/μ^3){exp＾(-az)(sinz/z＾2)}
=(2K/μ^3)∫[0→∞]{{exp＾(-az)(sinz/z＾2)}dz

のようになりますから複素積分（留数）でやればいいのでは？
参考程度に

お礼

ありがとうございます。早速その方法でやってみます。

回答No.1

shiro-hase

こん＊＊は。

まず最初に質問。
exsと自然対数expは違うのですか？

本題。

exs(ar)/(ra^2)=(1/a^2)*exs(ar)/r
と考えてはだめですか？
aがrと関係ないものであれば、前に出せば済むと思うのですが・・・。

間違ってたら、ごめんなさい。

補足

すみません夜中に慌てて書いたので・・・もちろんexpです。

でもちろん
(1/a^2)*exp(ar)/r
で同じ事です。
exp(ar)/r ＝I
とおいてd/da*Iとやってaについて微分してrを消去して最後にaで積分すれば解けるんです。exp(ar)/r はできるんですけど1/a^2がかかってるとその手が使えないんでそんな書き方をしました。

exp(x)/xの積分ってどうやるんですか？