二重積分の問題がわかりません。

質問

問題　次の二重積分を実行せよ。∬dxdy/((a^2+x^2+y^2)^(3/2)) D={(x,y);0≦x≦a,0≦y≦a}
　極座標に変換して
∬rdrdθ/((a^2+r^2)^(3/2)) D1={(r,θ);　0≦r≦a/cosθ,　0≦θ≦π/4} 　D2={(r,θ);　0≦r≦a/sinθ,　π/4≦θ≦π/2}
D1の範囲で積分を実行してったときに∫1/√{1+(1/cosθ)^2}dθという項がでてくるのですが、これをうまく積分することが出来ません。
一応、tanθ=tやcosθ=tと置換してみたりもしたのですが、うまい形に変形できませんし・・　どなたか分かる方、教えてください。

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

>∫1/√{1+(1/cosθ)^2}dθ
=cosθ/√{1+(cosθ)^2}=cosθ/√{2-(sinθ)^2}

t=sinθと置いて、計算出来ませんか。

お礼

確かにt=sinθとおくと積分できますね！　何でt=sinθだけ試さなかったんだろう・・・　どうもありがとうございました。