置換積分の問題です

質問

∫rdr/√(r^2+z^2)　(積分範囲0～a）の積分で
タンジェントを用いて置換積分をすると聞いたのですが
いまいち分かりません
よろしくお願いします

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

r^2+z^2=t
2rdr=dt

∫rdr/√(r^2+z^2)
=(1/2)∫dt/√t
=(1/2)(2√t)
=√(r^2+z^2)

√(r^2+z^2)=T
(1/2)(2r)dr/√(r^2+z^2)=dT

∫rdr/√(r^2+z^2)=∫dT=T=√(r^2+z^2)　。

お礼

r^2+z^2をtと置く方法もありましたか
とても分かりやすいです
ありがとうございました

回答No.1

nious

r=z*tan(θ)とおくと、
z∫sin(θ)/cos^2(θ)dθ
tan(θ/2)=tとおくと、4z∫t/(1-t^2)^2 dt、
1-t^2=uとおくと、-2z∫du/u^2=2z/u=2z/{1-tan^2(θ/2)}=z+√(r^2+z^2)

お礼

回答ありがとうございます
何とか解けました