積分範囲のとりかた。

質問

「半径がそれぞれaおよびb（>a）の２つの薄い導体球殻A,Bを中心に一致させて置く。そしてAに電荷Qを与え、Bは接地する。この系がもつ静電エネルギーを求めよ」

という問題があるのですが、解答としては静電エネルギー密度uを積分して求めるのですが、それはいいのですが、最終的に積分するときに
U = ∫u4πr^2dr
の式で積分範囲をとるときに「上がb下がa」にとっています。この考え方が分かりません。どうしてそのような順序になるのでしょうか？
また、私はよく電場から電位を求めるときに積分するときも範囲をどっちが上でどっちを下に置くかで迷うのですが、一般的にどう考えたらいいでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

この場合エネルギー密度はスカラーですから，単純に
r座標の小さいほうから順に合計するという考えでいい
のではないでしょうか？　エネルギー密度に符号は
含まれているのですよね。

電場から電位への積分の場合は，定義どおりE=-∇φ
ですからφ=-∫E・drです。drがベクトルで内積の
積分になっていることに注意しましょう。選んだ
座標系でdrをしっかり向きを含めて書き換えてください。
あとは，Eがφの坂を下る方向というイメージなどがあれば，
間違うことはないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。