1階の微分方程式

質問

解答の仕方が考えても良くわかりませんでした。やり方だけでもアドバイスお願いします。

関数が微分方程式を満たすことを証明せよ。

(1)　y^2=2Cx+C^2 , y(y')^2+2xy'-y=0

(2) y=-x-1+Ce^x , y'=x+y

C:定数

回答No.3

jaspachate · ベストアンサー

(1)、(2)ともに定数Cを消すことを考えれば自ずと道が拓けます。
(1)
y^2 = 2Cx + C^2
両辺を x で微分して、
2yy' = 2C
もう一度微分して、
(y')^2 + yy'' = 0 ----(ア)
これが x を含みませんから、微分方程式から x を消すことを考えます。
y(y')^2 + 2xy' - y = 0
を変形して、
x = -(y'-1/y')y/2
両辺を x で微分して、
1 = -(y''+y''/(y')^2)y/2 - (y'-1/y')y'/2
まとめると、
(1+(y')^2)((y')^2+yy'') = 0 ----(イ)
従って、(ア)は(イ)を満たすことがわかります。

(2)
y = -x-1+Ce^x
x で微分して、
y' = -1 + Ce^x
元の式から、Ce^x = y+x+1 だから、
y' = -1 + y+x+1
= y+x

回答No.2

owata-www

(1)の方がめんどくさいですね、なぜか

(2)は＃１さんが解説してくださっているので、(1)を
色々工夫することも出来ますが
y^2=2Cx+C^2より、y=±√(2Cx+C^2)で微分して、y'=±C/√(2Cx+C^2)です。後は代入するだけです

回答No.1

sanori

こんばんは。

たとえば、（２）の場合、
ｙ　＝　－ｘ　－　１　＋　Ｃｅ^x
より
ｙ’＝　－１　＋　Ｃｅ^x

上記のｙ、ｙ’を　微分方程式　ｙ’＝　ｘ＋ｙ　に代入したとき、
恒等式（たとえば　ｘ＝ｘ　とか　０＝０　とか）になることを確認すればよいです。

ご参考に。