1階線微分方程式

質問

1階線微分方程式 y'+2xy=2xを解く。　という問題がるのですが、その後の解き方がわかりません。
∫2ｘｄｘ＝ｘ²+C　だから、答えは　　y=-1+ce^x²

とあるのですが、わかる方解説お願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

線形１階微分方程式

y'+P(x)y=Q(x)　　　　(1)

の完全解は次式で与えれます。

y={∫Q(x)exp[-∫P(x)dx]dx+C}exp[∫P(x)dx

問題はP(x)=2x, Q(x)=2xです。

これを使えば一発ですが、途中も計算しましょう。

G(x)=exp(∫P(x)dx)を計算します。

これを(1)の両辺にかけると

y'exp(∫P(x)dx)+P(x)yexp(∫P(x)dx)=Q(x)exp(∫P(x)dx)

左辺はyとexp(∫P(x)dx)の積の微分になっていて

d[yexp(∫P(x)dx)]/dx=Q(x)exp(∫P(x)dx)

積分を行って

yexp(∫P(x)dx＝∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx+C

ゆえに

y={∫Q(x)exp(∫P(x)dx)dx+C}exp(-∫P(x)dx

今回の問題は

y'+2xy=2x　　　　　　　　　　（2）

つまり

P(x)=2x, Q(x)=2x

です。

∫P(x)dx＝∫2xdx=x^2

G(x)=exp(∫P(x)dx)=exp(x^2)

これを(2)の両辺にかけると

y'exp(x^2)+2xyexp(x^2)=2xexp(x^2)

これは左辺をまとめて

d[yexp(x^2)]/dx=2xexp(x^2)

積分して

yexp(x^2)=∫2xexp(x^2)dx (3)

右辺はx^2=uとおくと2xdx=duなので

∫2xexp(x^2)dx＝∫exp(u)du=exp(u)+C=exp(x^2)+c

(3)は

yexp(x^2)=exp(x^2)+C

y=1+Cexp(-x^2)

質問者の示した答えは間違っています。

お礼

詳しく解説していただき、ありがとうございました。

回答No.2

sugakujyuku

与えれた微分方程式より
y'=2x(1-y)

(i)y=1のとき微分方程式の解になっていることはすぐにわかる。
(ii)y=1でないとき
1/(y-1)dy/dx=-2x
xで積分して
log|y-1|=-x^2+C.
y-1=±e^Ce^(-x^2).
Cは任意の定数だから、±e^Cはゼロ以外の任意の定数となるので、これを改めてCとおくと
y=Ce^(-x^2)+1 (Cはゼロ以外の任意の定数）。

ここで、C=0とおいてみると、y=1となり、(i)の場合を表していることがわかる。
よって与えられた微分方程式のは
y=Ce^(-x^2)+1 (Cは任意の定数）。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。