微分方程式の解き方

質問

微分方程式の問題
xy'=y^2 -1

の答えに至るまでの過程を教えてください。

解答例はy=(1+Cx^2)(1-Ｃx^2)^(-1) ,y=±1です。
宜しくお願いします。

回答No.1

ykskhgaki · ベストアンサー

xy' = y^2 - 1 → x ≠ 0 である (x = 0 では式が成立しない)。

y^2 - 1 ≠ 0 のとき、両辺を x(y^2 - 1) で割る。
y'/(y^2 - 1) = 1/x → y'{1/(y - 1)(y + 1)} = 1/x
y'{1/(y - 1)-1/(y + 1)}/2 = 1/x → y'{1/(y - 1)-1/(y + 1)} = 2/x

y' = dy/dx より
∫{1/(y - 1) - 1/(y + 1)}dy = ∫(2/x)dx
log|y - 1| - log|y + 1| = 2log|x| + C
log{|y - 1|/|y + 1|} = log e^Cx^2
|y - 1|/|y + 1| = e^Cx^2

±e^C = C と置き直して絶対値を外す。
(y - 1)/(y + 1) = Cx^2
y - 1 = y・Cx^2 + Cx^2
(1 - Cx^2)y = 1 + Cx^2

以上より、一般解は下記のように求められる。
y = (1 + Cx^2)/(1 - Cx^2)

y = 1 は、C = 0 の時の解
y = -1 は、1/C = 0 の時の解

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

この問題が「変数分離形」の一語で終らないとしたら、
演習量が著しく不足しています。解答付きの易しい問題集で
よく練習することが必要です。「モノグラフ」なんかお勧め。
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