０で割ったらダメって、誰が決めたの？

質問

０で割ったらダメって、誰が決めたの？

異議を唱えた人はいないのですか？

数学の人って、虚数とかつくって、ほんらい不可能な解のものを、得てきましたよね？
ゼロ除算を数式化することはできないのでしょうか？

回答No.18

noname#130082 · ベストアンサー

No.18　追加です。
即興で作ったので、間違っているかもしれません（間違っていたらすみません<(__)>。）
閉区間　I=[0,1] に次の演算を定義します。
a+b=(aとbの大きい方),
a≦b のとき a-b=0,
a＞b のとき a-b=a,
a×b=(aとbの小さい方),
b≦a のとき a÷b=1,
b＞a のとき a÷b=a,
とすることで、加減乗除は自由にできます。（x÷0は必ず1になります。）
ただし、それと引き換えに、体の公理は成り立ちません。（和と積との間に分配律などは成り立つし、0は足し算の単位元で1は掛け算の単位元だが、差が和の逆演算ではなくなり、割り算が掛け算の逆演算にもならない、など）。
ただし、等号のかわりに不等号を用いて、

c×b≦a
if and only if
c≦a÷b,

a-b≦c
if and only if
a≦c+b,

という「移項」ができる（不等号の向きを変えたら駄目）ので、少しだけ逆演算っぽくなります（私の計算が間違ってなければ(^^;)・・・計算、苦手なんですよ）。

数学的には「Heyting代数、かつ、その双対束もHeyting代数」という構造ならこれらの加減乗除が定義できるはずです。発展性があるかどうかは分かりませんが、Heyting代数というのは結構重要な代数なので、たぶんまったくの無意味ではないと思います。

要するに、「体にこだわらなければ」0で割る代数もやればできる、ということです。

お礼

ほほーん、０除算が矛盾なく利用出来る・・・かもしれない？という考えが出てきましたねー。
私はこの考えがどれくらい有用かは、分かりませんが、こういう意見が出てくることは、私は大好きです。

なぜなら、自分の単なる知識を疑うことなく、回答するよりは、例外を考えたり、新しいアイディアを出すのは、とても勇気が必要で、頭を使うからです。

本当に、ありがとうございました。ｗ

回答No.9

hu-takun

ダメと言うわけではないのです。
他の回答者さんたちは、なにやら難しい理論を唱えておりますが....。
ゼロの意味を知っていますか？
何も存在しないということです。
人間は「無」を理解するのが苦手です。
なんとかそこに、何かを存在させようといろいろ空想します。
でも、ないものはないのです。
つまり、ゼロで割っても意味がないということです。
逆に言えば、空想するのは自由です。
いろいろ仮説を立ててみるのもおもしろいです。
世界がひっくりかえるような理論が証明されたら素敵ですね。

お礼

いや、ゼロは何もないという意味があると言うことですよ。

一般人で、参考意見なのが、ほっとします。
ありがとうございます。

回答No.8

kenjoko

ごめん！
　a≠b かつ　a≠０、b≠０のときでした。

回答No.7

kenjoko

０で割ったらダメに対して「はい！」と答えた者は、良い成績をとれるが、真理や本質に目をつぶっている。
　０で割ったらダメに対して「疑問」をもった者は、真理や本質を追及している。

　回答としてはNo.２が最も解りやすい。

　　a≠b　かつ　a=o,b=0　…(1)　のとき

　　　０＝a・0＝b・0　　…(2)

　(2)の中辺と右辺を０で割ると
　　　　a＝b　と、なり　(1)と矛盾

　よって０で割ったらダメ（分数の分母は０にできない）

　また(2)で０÷０＝a・0÷０＝b・0÷０

　　　　　０÷０＝0^0＝a＝bと、なり　

　　　　　0^0＝１も成り立たない。

質問者は学年等を表示して下さい。もしあなたが小学生や中学１年生ならばNo.１の方は別な回答をしていたと思います。

お礼

あー、思いっきり社会人です。
本来は、「０で割ったらダメって、誰が決めたの？」だけを知りたく、タイトルにしたのですが、余計な事を書きすぎました。＾＾；
おそらく、自然発生的にダメって事になったんでしょうね。

ありがとうございます。

回答No.6

bluemtg

理工学系の学問とは矛盾しないルール創りだと思います。
数学も同じです。
０で割ることは矛盾が出るためやってはいけないことになっています。
50年以上昔の中学生か高校低学年の頃だと思うのですが、
「２＝１」を証明（？）して得意になっていたことを思い出しました。
以下に「２＝１」を証明します。

A=B　　という式がある。両辺に"A"を掛けて
A^2=A*B 両辺から"B^2"を引いて
A^2-B^2=A*B-B^2　　　　因数分解して
(A+B)*(A-B)=B*(A-B) 両辺を(A-B)で割って
(A+B)=B 初めの式よりB=Aなので
A+A=A ⇒　2*A=A 両辺をAで割って
２＝１ 以上証明終わり

お礼

＞異議を唱えた人はいないのですか？
　唱えると矛盾が起きるための、暗黙の了解・・・、っと。

数学って、リーマン予想とか、素人にはよく分からない事をしてたりするじゃないですか。
そんな数学者達が、０除算をルール創りの方が大切だから！って言っちゃうのもなー、、、と。
あ、不定ってのも、きちんとした解の形なのか。
ありがとうございます。

回答No.5

BookerL

数学とは、極端に言えば「矛盾さえしなければ、どんなことを考えても言い」学問です。

　「虚数」を導入しても、実数と同じように加減乗除の計算が矛盾なく定義できます。しかも、虚数を使うと、代数方程式の解が全て表現できるという有用性があります。

　しかし、定数を０で割った値が何らかの値になる、とすると、矛盾が生じます。（具体例は ＃２さんが挙げられています）

　「０で割ったらダメ」と決めたと言うより、「０で割った数が存在するとすると矛盾を生じるので、数学では０で割る操作は扱わない」ということでしょう。

お礼

矛盾やルールを盾にすると、数学者ってそう言う所に、くってかかって行かないの？と思ったり。

すべての条件の０除算を試した結果、レポートを書いた人とかいないんでしょうか？ｗ

ありがとうございます。

回答No.4

kabaokaba

０での除算ができないというのは
除算と０の定義から自然とでてくるもの．
ちなみに
「θ^2=0 かつ θは0ではない」というような対象θを
使って数のようなものを構築することは可能です．

虚数は作ったというよりは「発見した」というようなもので
理論や形式を綺麗にするために導入されるようなものでも
想像上のものでありません．形を変えてきっちり実在します．

虚数（正確には虚数単位i）の本質は
「二回かけると逆になる」
ということで，
これに対応するものは i になります．

一番代表的なものは「90度の回転」です．
これは i と等価です．
もうちょっと抽象的にすると
一変数の多項式を X^2+1 で割った余りだけを考えると
その余りの集合は複素数と同じになり，多項式 X が
虚数単位 i と等価になります．

現実世界では電気の交流回路に現れる
「位相のずれ」である虚数が有名です。

お礼

作ったんじゃなくって、発見なんですか。
虚数は二乗するとマイナスになったりするのは、ニュートンの特集で読んだのですが・・・、難しい話しはさすがに分からなくって。＾＾；
電気の分野では、虚数が実在するのですか。
ありがとうございます。

回答No.3

noname#111804

学校ではそう教わりましたが。
０で割ってはダメとは誰も言っていません。

私は、
定数/０＝∞にしています。

お礼

この辺が、少数派なのか、確信があるのかは、アドバイス、一般人、参考意見って事で宜しいでしょうか？

ありがとうございます。

回答No.2

masa072

ご希望なので数式化しましょう。
例えば，1÷0の計算結果がaになるとします。
1÷0=a
分数で書き直せば，
1/0=a
両辺に0をかけることができますから，0をかけると，
1=a×0=0
1と0は等しくないのでこれは矛盾ですね。
よって0で割ることはできません。

お礼

1=0は、確かにイコールではないですねー。

これは数学のどんな知恵を使っても、イコールにはなりませんか？

ならないんでしょうねー。

ということは、回答は自然発生的にゼロ除算は不定とことは、自明の理って事で宜しいでしょうか？
ありがとうございます。

回答No.1

noname#98991

wikipedisで「体」で検索してください
多少簡略化して説明します

代数学において体は、四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合のことである。

特に、

a が0でない集合Kの元ならばそれに対して aa－1 = a－1a = 1を満たす、逆元と呼ばれる元 a－1 が常に存在する。

1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
つまり、００－1＝１とはなりえない

ここでこの定義の段階で０以外となっているんです

そうすると、
有理数の全体は体である。
実数の全体や複素数の全体も体である。
といえます

数学は自由なので、
1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
というのを仮定しなければ、
零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば体になります

０で割ってもよいという演算関係創造してを公式化してもよいですが、
我々のいう四則演算がそもそも体をなすので、
この創造物は抽象の産物にしかならないでしょう

虚数は、抽象の産物ですが、理論形式を美しくするために必要です
例えば二次方程式には二個の解があると必ずいえるんです

お礼

うむ、よく分かりません。
申し訳ない。（笑

まぁ、”体”というのは少し分かりました。
ありがとうございます。