数(2)異なる２つの虚数階？

質問

数学得意な方教えてください。

　２次方程式Ｘ^2＋２Ｘ＋４＝０の２つの解をα、βとするとき、α－１、β－１を解とする２次方程式を１つ作れ。

　という問題なのですが、この２次方程式を判別しますと

　Ｄ＝４－４×４＝－１２＜０
　したがって、「異なる２つの虚数解」になると思うのですが、この場合に、α－１，β－１を解とする方程式は、どのように求めるのでしょうか？

　よろしくお願いします。

回答No.4

akn1aj · ベストアンサー

既に回答は示されている；わけですが、あなたの質問から「何がわからないのか」で2点{ II)に記しました。}感ずるところがあり、説明します。

I)＞…α－１，β－１を解とする方程式は、どのように求めるのでしょうか？
「（元の与えられた）2次方程式」と「解と係数の関係」はどのような関係にあるのでしょうか？
(2解をα, βとして2次方程式は) ax^2 + bx +c = a(x-α)(x-β) = 0（a≠0） ⇔ α+β= - b/a, αβ= c/a ；なわけです。これがわかっていればカンタン。
α' = α-1, β'=β-1 として 与2次方程式よりα+β= -2, αβ= 4 だから、α' +β' = α+β- 2 = - 4, α' β' = (α-1)(β-1) = αβ- (α+β)+1 =4+2+1=7 。従って求める方程式はx^2 + 4x +7 = 0。{１つ作れ;とは両辺を任意の実数倍しても方程式としては、同じだから。｝

II)… したがって、「異なる２つの虚数解」になると思うのですが、…
まず第一に、このことと問題に答えることとは、全く関係ありません。判別式の計算は不要です。「異なる2つの実数解」だろうが「重解」だろうが「虚数解」だろうが、「解と係数の関係」は影響を受けません。従ってこのような質問は、あなたがI){つまり「解と係数の関係」}をよく理解する必要のあることを示唆します。
　次に「異なる２つの虚数解」の表現が、少し気になります。間違ってはいませんが、このようないいかたは通常しません。与2次方程式：x^2 + 2x + 4 = 0 は実数係数です。従って虚数解なら互いに共役な、共役複素数解です。「異なる2つの」であることは当たり前ですが、全く勝手ではありません。「虚数解」で十分ですが、２つに拘るなら「共役複素数」となることを、認識しているように「互いに共役な２つの虚数解」書きましょう。

お礼

大変よく分かりました。
　ありがとうございます。

　ただ、「異なる２つの虚数解」と言う表現は、現在、使われている某教科書に記載されていた表現であります。

回答No.3

noname#17965

αー１、βー１を解とする方程式なので
｛ｘ－（α－１）｝*｛ｘ－（β－１）｝＝０・・（１）

これを計算していけば答えに辿り着きます。
正直にα、βを計算して代入する方法もありますが、
お話しの通りα、βは虚数解なので計算は少し面倒です。
（もちろんやれば出来ます。面倒なだけで難しくはありません。）

ここで式（１）を展開して整理すると
ｘ＾２+｛２－（α＋β）｝ｘ＋αβ－（α＋β）＋１＝０・・（２）

α、βは問題文の方程式の解なので解と係数の関係より
αβ、α＋βがすぐに分かります。
これを式（２）に代入すれば面倒な計算無しにスマートに答えに辿り着きます。

お礼

ありがとうございます。
　ついつい、解の公式にあてはめて解くものだと思いこんでいました。

回答No.2

stripe

間違えました汗
ごめんなさい。

解と係数の関係より、α+βとαβの値が求められます。

α－１，β－１を解とする方程式，β－１を解とする方程式の一つは、

[ｔ-(α－１)][ｔ-(β－１)]＝0
展開して、α+βとαβの値を代入してみてください。

お礼

ありがとうございます。
　ついつい、解の公式にあてはめて解くものだと思いこんでいました。

蛇足
　ご自身のコメントに素早い修正までいただき、ありがとうございました。

回答No.1

stripe

解と係数の関係より、α+βとαβの値が求められます。

α－１，β－１を解とする方程式，β－１を解とする方程式の一つは、

(α－１)(β－１)＝0
展開して、α+βとαβの値を代入してみてください。