ふと疑問に思ったこと

質問

次元の低い質問で恐縮ですが、中学の頃習った数学で
今ごろふと疑問に思ったことがあります。
x^2-2x=0の解は、
x^2-2x=x(x-2)=0で、
x=0またはx=2ですよね。
それで、式の変形の
x^2-2x=x(x-2)の
(x-2)という部分は、
x^2-2xをxで割ったものですよね。
しかし、そう考えると解の１つはx=0で0の除算となるので、
なんかしっくりいかないのです。
本来はx=0でないと仮定してから
x^2-2x=x(x-2)として、
あとからx=0が等式として成り立つと考えるのでしょうか？
単純な式の変形が、
何かパラドックスを含んでいるように思えるのです。
わかりやすく説明していただけますか？

回答No.1

zabuzaburo · ベストアンサー

結論から言うと、harisunさんの疑問は
「『ゼロで割ってはいけない』ということの理解が正確でない」
ことに端を発しています。
x^2 - 2x = x(x - 2)という変形自体は、
xがゼロであるか否かには無関係に正しいです。
>本来はx = 0でないと仮定してから
と考える必要はありません。
仮にxがゼロであったとしても、上の等式は
0 = 0 × (-2)ということで文句無く成り立ちます。
「ゼロで割ってはいけない」というのは
こういうことを禁止しているのではありません。

それではどういうことかというと、
「『0 × a = 0 × b』という等式が成り立つときに、
両辺を0で約して『a = b』と結論してはいけない」
ということです。
簡単に言えば
0 × 1 = 0 × 2 だからといって 1 = 2 ではない
という意味です。
このことから更に言えることは、
「xがゼロという値を取る可能性があるときに、
『ax = bx』が成り立つからといって
両辺をxで約して『a = b』と結論してはいけない」
ということです。

ご質問の方程式で言えば、
x^2 - 2x = 0 の左辺は x(x - 2)と変形でき、
また右辺は x・0 と変形しても構いません。
しかし、この変形で
x(x - 2) = x・0 という方程式が得られても、
両辺をxで割ってx - 2 = 0と変形するのは誤りです。
ご覧の通り、二つの解のうちの一つが
消失してしまっていますね。

「ゼロでは割るな！」という標語だけがあまりに有名過ぎて、
その的確な意味が曖昧になっている人はたくさんいると思います。
そしてその大半は
harisunさんの抱いたような疑問を感じることもなく
通り過ぎてしまっているのではないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おっしゃるとおり、単純に「0では割れない」と
解釈していました。
> 両辺を0で約して『a = b』と結論してはいけない
そういう事だったんですか。
お陰様で、数に関して理解が深まった思いがします。
どうもありがとうございました。