f(x)を整式とする。また、a,b,nを整数とする

質問

f(x)を整式とする。また、a,b,nを整数とする。
このときmod n で考えて
a≡bならばf(a)≡f(b)は成り立ちますか？

回答No.2

sunflower-san

以下、整数 n は一つ固定しておきます。
そして整数 a, bが mod n で等しいということを
「a - b が nの倍数である」と定義し、
a≡bと表すことにします。

まず、
(1) 「a≡b かつ c≡d」ならば「a+c≡b+d」
(2) 「a≡b かつ c≡d」ならば「a×c≡b×d」
が成り立ちます。
これはよろしいでしょうか？

(↑ ここがわからないという場合はあらためて聞いてください)

いま(1) から、
(1') 整数 a_0, a_1, a_2,...,a_n とb_0, b_1, b_2,...,b_n について
「a_0≡b_0 かつ a_1≡b_1 かつ a_2≡b_2 かつ ・・ a_n≡b_n」
ならば
「a_0+a_1+a_2+・・+a_n ≡ b_0+b_1+b_2+・・+b_n」
がわかります。

また(2) から、
(2') 整数 a, b, cについて
「a≡b」
ならば、任意の0以上の整数nについて
「c×a^n ≡ c×b^n 」
がわかります。

(↑ いずれも、正確にはnに関する自明な帰納法を用います)

さて整数係数の多項式とは、
「ある0以上の整数nがあって、
f(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ・・+ c_n x^n
(ただしc_0, c_1, c_2, ..., c_n は整数)
と表されるもの」と定義されます。

いま「a ≡ b」と仮定すると、

(2') の性質から、k = 0, 1, 2, ..., n について
「c_k a^k ≡ c_k b^k 」がわかります。

さらに(1') の性質から、k = 0, 1, 2, ..., n にわたる和の合同
「c_0 + c_1 a + c_2 a^2 + ・・+ c_n a^n ≡ c_0 + c_1 b + c_2 b^2 + ・・+ c_n b^n」
がわかります。

こうして、「f(a) ≡ f(b)」がわかりました。

お礼

ありがとうございます！

補足

ありがとうございます！

回答No.1

sunflower-san

f(x)が整数係数の多項式であるなら
mod n で考えて
a≡bならばf(a)≡f(b)が成り立ちます。

補足

どうしてでしょうか