ε-δ論法 数列a_nに条件はあるのか？前回の続き

質問

数列の極限に関して
a_n=1/(n-3)+b → b・・・(1)となるが
私の使ってる本で、
a_n → bのとき
(a_1+a_2+a_3+・・・+a_n)/n → bとなることがε-δで証明されている
しかし(1)の時、a_3は定義できない。
よって矛盾する。
つまりa_nは有限な値じゃなくてはならないのか？
までが前回の質問で、ご解答で定義できないと駄目と分かりました。
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では定義できるとは、どういうことを指しているのでしょうか？
a_n=1/(n-3±0)+b ±0は限りなく0
a_n=1/(n-3±Δ)+b　　±Δは限りなく0
でもn=3で定数つまり有限な値つまり動かない値となるので定義できるということでしょうか？
この場合のa_3はある大きな(小さな)値を取る。それよりも大きな値もありえるので無限ではない。
何故なら±0も定数だから。この考え方で合ってますでしょうか？
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⇔
言い換えると、以下の事は自然に成り立つのでしょうか？
1からある自然数nまで定義された数列a_nは有界な区間に含まれる。
よってa_nは有限である。
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回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

a_n が有界な区間に含まれるならば、a_n は有限ですが…

a_n = 1 / (n - 3) + b が n = 3 で定義されていないために
s_n = (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) / n が n ≧ 3 で定義されない
という困難を解決するために、
a_n = 1 / (n - 3 ±0) + b と考えてみる
という方法には、あまり賛成できません。

±0 が本当に 0 であれば、足しても引いても影響はありませんから、
この ±0 は、一旦
a'_n = 1 / (n - 3 ±Δ) + b と置いて
後で Δ → 0 の極限を考えなければ、意味がありません。
lim[Δ→0] a'_n = a_n,
lim[Δ→0] s'_n = s_n です。

と、いうことは、
lim[n→∞] s_n すなわち lim[n→∞] lim[Δ→0] s'_n を考える替わりに、
lim[Δ→0] lim[n→∞] s'_n にすり替えて考えようということです。
このような lim の順序変更は、無条件には許されません。

実際、この例の場合に、
lim[Δ→0] a'_n が n ≧ 3 で発散するために、
lim[Δ→0] s'_n も n ≧ 3 で発散し、
lim[n→∞] lim[Δ→0] s'_n は当然、発散するのですが、
一方、
lim[n→∞] s'_n は Δ が整数でなければ、その値によらず b へ収束しますから、
lim[Δ→0] lim[n→∞] s'_n も b へ収束します。

両者は、極限どころか、収束性すら一致していません。

補足

頭の中がこんがらがって、何を聞きたいのか分からなくなりそうでしたが、arrysthmia様の理路整然とした問題点の整理と着眼点を本当にキメ細かくご指導いただき、その考え方（±0）の計算順序の入れ替え、つまりそれぞれの収束の早さを変えてしまう様な過ちに気づかされました。
>>つまりa_nは有限な値じゃなくてはならないのか？
上の文が本当に聞きたい部分でしたが、高校の数学の範囲内で
a_nがn=iで有限じゃなくても、つまり+∞に発散しても、n=jで-∞に発散すれば、+∞-∞は不定形だから収束する可能性もあるかもって言う理解でいいでしょうか？つまりa_nは有限じゃなくてもいいのでしょうか？それとも>>の私の疑問点は簡単には説明できないのでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

＞ a_n が n=i で有限じゃなくても、つまり +∞ に発散しても、
＞ n=j で -∞ に発散すれば、+∞-∞ は不定形だから収束する可能性も

それは、例えば、
a_n = A/(n-1)^2 - B/(n-2)^2　(A,B は定数) ,
s_n = (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) / n
について
lim[n→∞] s_n を考えたい ということですか？

その場合も、a_n, s_n が全ての自然数 n に対して定義されない
という事態に変わりはありません。

あるいは、「+∞ に発散」「-∞ に発散」とは、再び
a'_n = A/(n-1 ±Δ)^2 - B/(n-2 ±Δ)^2
の Δ→0 での極限などのものを考えているのでしょうか？

それよりも、
s_m,n = (a_m + … + a_n) / (n-m+1)
の m を何か適当に大きい値に固定して、n→∞ の極限を考察するほうが
生産的なように思いますが…

回答No.2

koko_u_

>では定義できるとは、どういうことを指しているのでしょうか？

あなたが a_n が何であるかを与えれば、それが定義です。
a_n = 1/(n-3) + b では、誰も a_3 が何ものなのかを特定できず、「定義できていない」と見做されます。

>a_n=1/(n-3±0)+b ±0は限りなく0
>a_n=1/(n-3±Δ)+b　　±Δは限りなく0
>でもn=3で定数つまり有限な値つまり動かない値となるので定義できるということでしょうか？

その「定義」で万人が納得すれば定義されたと言えますが、私にはあなたが何を言わんとしているのかわかりません。

どうやら「定義」とは何か数式のようなもので具体的に与えられるモノを指しているように誤解しているような気がします。