円周率について

質問

円周率は、無限に続く数字というのはいまどき、中学生や小学生でも知っていますが、無限に続くのなら、どのような数字も含まれているはずですよね。

そこでどうしても気になるのですが、これが正しいとすると、無限に続く数字ならなんでもいいことになると思うのです。

例えば、√2などの無理数を少数で表記したものは、無限に続く数字なはずです。

無限に続くランダムな無理数の少数表記の数字ならどのような数字も含まれるという論法が成立するなら、

その中には、
1. 有限の数字、例えばあなたや僕の携帯電話番号、すべての郵便番号。

2. そして、それらを順列組合せで任意の順番に並べた番号が含まれる。

3. それ以降、全ての桁が一致したその無理数自身もその数字の羅列の中に出てくる。

4. ほかのすべての無理数も含まれる。

どこまでが正しいのでしょう。
直観では、2.までは言えそうですが、3以降はどうも信じられません。

回答No.5

boiseweb · ベストアンサー

ある実数について，
(a) 「無限小数表現が非循環無限小数である」（つまり，無理数である）
ことと
(b) 「無限小数表現がすべての有限数字列を含む」
ことの間には，大きなギャップがあります．

たとえば，数字として0と1だけを使って
0.101001000100001...
という10進無限小数を作る（1の間に入る0の個数を1個，2個，... と増やしていく）と，これは循環しない無限小数なので，ひとつの無理数の表現になっています．しかし，この無限小数には，0と1以外の数字を含む数字列は出現しません．

そういう意味で，「あらゆる無理数が(b)の性質を持つか？」という疑問には，きっぱり NO と言えます．

逆に，長さ有限の数字列全体は可算なので，（ｂ）の性質を持つ無理数を恣意的に定義するのは簡単です（すべての有限数字列を連結して無限小数を作ればよい）．

結論として，単に注目している実数が「無理数である」という事実だけでは，それが (b) の性質を持つかどうかについて，何も言えないわけです．

円周率や √2 などの「個別の」「特徴的な」無理数について，それが (b) の性質を持つかどうかというのは，予想のレベルならともかく，数学的に証明された事実はたぶんないと思います．

補足

みなさんのおかげで、気になるのは、円周率や√2などの特徴的な(あるいは特徴のない)無理数を小数展開した場合に、それに含まれない文字列は、無限に存在するか、という事になってきたようです…
でも、それらは証明されていないんですね。

回答No.4

Tacosan

1 と 2 って本質的に同じような気がするんだけど....

さておき, 10進表記についていえば 1, 2 は「そうだと信じられているが証明はされていない」はず＞#3.

余談だけど, 理屈からすれば「π進法」とか「√2 進法」なんてものも不可能ではない＞#2. 一部地方では「-2進法」とか「1-i 進法」などもある. ま, 定義だけの問題.

補足

数学は詳しくないので、興味をそそられます。
そうなんですよね。
冷静に考えると、1や2も根拠がある訳ではないですよね。
だって、無限からある特定の記号列を1つだけ取り除いたとしても、残りは無限です。
で、その特定の記号列を取り除いたものが含まれるものが円周率、と言ったってどっちみち無限なのだからもともとの円周率が無限に続くという事に傷はついていません。
ですから、円周率に含まれない文字列は無限にあるかもしれないと思えてならないんです。

回答No.3

alice_44

3. が成立したら、循環小数だから、
有理数ということになってしまう。
円周率が無理数であることは、証明されている。

4. は、成立しないことが
対角線論法を使って証明できる。

1.2. は、広く信じられているけれど、
証明はあるんだっけ？

補足

対角線論法を使った証明で4が否定できるというのは少し気になりますが、入るはずがないんですよね。
全ての数字が入るっていう事になると。
ですから4が間違ってることは直感的にもわかるんです。
そして、直感的に、3もおかしいというのはわかります。
でも、3って循環小数ですか？

回答No.2

AkiraHari

１次元では無限は無限の中に持てません。
ですので３，４はありません。

なお、進数とは２以上の自然数で桁上がりするものです。√2やπでの進数はありません。

補足

ごめんなさい。
ちょっとおっしゃることが理解しきれませんでした。
無限の中に無限を詰め込むことは出来るような気がしますが…
対角線論法なんか、そうですよね。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

全ては（円周率の小数点以下が無限であると言う事も含めて）「１０進数の世界では」と言う前提があります。

「円周率進数の世界」では、円周率は「１０」と表され、有限の数字になります。

１～４の疑問も、進数が変われば話が１８０度変わってしまうので、考えても無意味です。

お礼

自分の疑問に思っていたことがよりはっきりしました。ありがとうございます。

補足

ちょっと補足というよりも雑然としてしまうのですが…
もっと拡張した言い方をすれば、ある進数表記において、ランダムな数字の『無限の』羅列が、全ての『有限』な数字の羅列を含むか、という事なんですが…
ですから、円周率を1としようが10としようが構わないのですが、その世界での無理数を考えたときに、という事です。
いくらでも冪集合は考えられると思いますが。