微分方程式

質問

-{(d/dx)^6}u=Pu (P>0)　の六元連立一次方程式の問題について
特性方程式をつくると D^6+P=0となるのは分かるのですが、この式の根がD=±i[6]√(P),±{{(√3)+i}/2}[6]√(P),±{{(√3)-i}/2}[6]√(P)となる事が分かりません。こうなる計算式を教えてください。また、計算式を省略してもいいので解く順番を教えてください。お願いします。

回答No.1

noname#101087

>特性方程式をつくると D^6+P=0となるのは分かるのですが、この式の根がD=±i[6]√(P),±{{(√3)+i}/2}[6]√(P),±{{(√3)-i}/2}[6]√(P)となる事が分かりません。

代数方程式とみなして解くのでしょうね。
P > 0 として、概略方針だけ…。

　　D^6 = -P = P*exp{(2m+1)*π}　　ただし m は自然数
ですから、
　　D = P^(1/6)*exp[{(2m+1)*π}/6]
を勘定すれば、上記の 6 つの根が得られると思います。

Good luck !