線形微分方程式の解き方

質問

(ｄ^2x/dy^2)+(dx/dy)＋ｘ＝０　ｘ(0)＝0 ｘ´(0)＝０　の解き方がわかりません
特性方程式ｔ^2+t+1=0 を解いてｔ＝（－１＋i√3)/2 ,（－１-i√3)/2
ってとこまではわかるんですがその続きがわかりません。
解き方を教えてくださいお願いします

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
＞初期条件が間違ってました。
＞ｘ(0)＝0じゃなくて正しくはｘ(0)＝－１でした

A#3で初期条件を代入するところからやり直します。
＞x＝{e^(-y/2)}[A cos(y√3/2) + B sin(y√3/2)]
＞ここで、A＝C1+C2, B＝(C1-C2)i
x(0)＝A=-1
x＝{e^(-y/2)}[-cos(y√3/2) + B sin(y√3/2)]
x'＝-(1/2){e^(-y/2)}[-cos(y√3/2) + B sin(y√3/2)]
+{e^(-y/2)}[(√3/2)sin(y√3/2) + (√3/2)B cos(y√3/2)]
x'(0)＝(1/2)+(√3/2)B＝0
B＝-(1/2)(2/√3)＝-1/√3
∴x＝-{e^(-y/2)}[cos(y√3/2) + (1/√3)sin(y√3/2)]

お礼

どうもありがとうございました

回答No.3

info22

＞ｔ＝（－１＋i√3)/2 ,（－１-i√3)/2
の続きです。
x＝C1*e^{(-y+iy√3)/2}＋C2*e^{(-y-iy√3)/2}
＝{e^(-y/2)}[C1e^{iy√3/2}＋C2*e^{-iy√3/2}]

ここでオイラーの公式
e^iz＝cos(z) +i sin(z)
e^(-iz)＝cos(z) -i sin(z)
を適用します。

x＝{e^(-y/2)}[A cos(y√3/2) + B sin(y√3/2)]
ここで、A＝C1+C2, B＝(C1-C2)i

x(0)＝0から　A＝0
x＝B{e^(-y/2)} sin(y√3/2)

x'＝-(1/2)B{e^(-y/2)} sin(y√3/2)+B(√3/2){e^(-y/2)} cos(y√3/2)

x'(0)＝0から

(√3/2)B＝0
B＝0
となって
x＝x(y)＝0
となります。

つまり初期条件が
x(0)＝x'(0)＝0
がおかしいか間違っているようです。
初期条件を再度確認してください。

正しい、初期条件について補充してください。

お礼

ありがとうございました。

補足

すみません。初期条件が間違ってました。
ｘ(0)＝0じゃなくて正しくはｘ(0)＝－１でした

回答No.2

Mr_Holland

この微分方程式の解は
　　ｘ(y)＝０
にしかならないように思うのですが、方程式と初期条件は合っていますか？

お礼

ありがとうございました

補足

すみません。初期条件が間違ってました。
ｘ(0)＝0じゃなくて正しくはｘ(0)＝－１でした

回答No.1

Suue

微分方程式のテキストを読んでいただければ、答えの出し方が乗っていると思いますが。

２回の線形微分方程式の特性方程式の解が、共役な複素数解で、その２解を
α＋iβ　α－iβ　（α、βは実数）　とするとき、もとの微分方程式の一般解は

ｙ　＝　Ｃ1exp(αｘ)cos(βｘ)　＋ Ｃ2exp(αｘ)sin(βｘ)
（Ｃ1、Ｃ2は任意定数）
となります。

あとは初期条件を満たすように、Ｃ1、Ｃ2の値を決定してあげれば、特殊解が出せます。

お礼

ありがとうございました