非線形微分方程式の特異点

質問

次の連立微分方程式について回答お願いします

dx/dt = -x+y
dx/dt = 2x+1-e^y

1,特異点を求める
2,特異点の近傍でe^yを一次の項まで近似し、方程式を線形化
3,線形化した方程式をベクトル表示
4,特性方程式（固有方程式）を解き、固有値を求める
5,この連立方程式の特異点のタイプは何か

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

問題の誘導どおりに計算してゆくだけですが、
どこまでできて、どこで詰まりましたか？

まず、特異点は、x'=y'=0 の解です。
式を変形して、x=y ∧ 2x+1=exp(x) を
解けばよいことになります。
解は、x=0 と、1＜x＜2 の範囲に一個の
計二個ありますが、正のほうの解は、
解析的には表示できません。
とりあえず、それを x=c と置いておきます。

x=y=0 の特異点は簡単です。ここでの線型化が
x'=-x+y,
y'=2x+1-(1+y) になりますから、
行列
-1 1
2 -1
の固有値が 1±√2 で、符号 (+,-) のため、
この特異点は「鞍状節点」です。

x=y=c の特異点は、少し面倒臭い。
ここでの線型化は、exp(y)=exp(c)exp(y-c)
≒exp(c)(1+(y-c))=(2c+1)(y-c+1) と近似して、
(x-c)'=-(x-c)+(y-c),
(y-c)'=2(x-c)-(2c+1)(y-c) となりますから、
行列
-1 1
2 -(2c+1)
の固有値 -(c+1)±√(cc+1) の符号を調べます。
1＜c より、固有値の符号は (-,-) と判り、
この特異点は「安定節点」です。

お礼

お恥ずかしながら
はじめの特異点を求めるところで詰まってしまいました。
後の計算は特異点を原点と考えれば詰まることなく行けたんですが
もうひとつのほうの特異点を計算できなかったので
全然進みませんでした。
本当にありがとうございました。