微分方程式

質問

微分方程式
u=f(x)
d^4 u/dx^4=u、f(0)=0
uを求める

回答No.1

2HOI · ベストアンサー

exp(a*x)=u とした場合
d/dx exp(a*x) = a*exp(a*x) を利用すると a^4=1をみたす a について d^4/dx^4 u = u がわかる
a^4=1 の解は a={1,i,-1,-i} の4つ。d^4/dx^4 u = u は 線形なので
a*exp(x) + b*exp(i*x) + c*exp(-x) + d*exp(-i*x) [a,b,c,dは任意定数] が一般解
f(0)=0より
a*exp(0) + b*exp(i*0) + c*exp(-0) + d*exp(-i*0) = 0
a + b + c + d = 0
よって
u = a*exp(x) + b*exp(i*x) + c*exp(-x) + d*exp(-i*x) [a,b,c,dはa+b+c+d=0を満たす任意定数]が特殊解

...であってるはず