微分方程式

質問

cosh(x) の定義は(e^x+e^{-x})/2
sinh(x) の定義は(e^x-e^{-x})/2です。
なので、A_1, A_2 を任意定数として
A_1 e^x + A_2 e^-x　とあらわせる式は、
A'_1, A'_2　を適当に置きなおすと、A'_1 cosh(x) + A'_2 sinh(x)
と置きなおすことができるのですが、次の問題が分かりません。

{(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=u'(0)=0, u(1)=u'(1)=0
の問題についてですが
D=d/dxとして特性方程式を作って
{D+i[4]√(P)}{D-i[4]√(P)}{D+[4]√(P)}{D-[4]√(P)}=0
(ここで　累乗根 : x[n]√(a+b) = (x)(a+b)^(1/n) とする)
とすると根がx = ±[4]√(P),±i[4]√(P)となり、一般解は公式より
u=c1e^(-ix[4]√(P)) + c2e^(ix[4]√(P)) + c3e^(-x[4]√(P)) + c4e^(x[4]√(P)) (c1,c2,c3,c4は任意定数)
となる。ココから次の式に導くのですがそれが分かりません。

u=c'1cosh(x[4]√(P)) + c'2sinh(x[4]√(P)) + c'3cos(x[4]√(P)) + c'4sin(x[4]√(P))
(c'1,c'2,c'3,c'4は任意定数)

いろいろ試してみたのですが、出来ませんでした。
分かる方教えてください。お願いします。

回答No.2

info22

>{(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=u'(0)=0, u(1)=u'(1)=0
これをP>0の条件で数式処理ソフト「wxMaxima」を使って解いたところ
u(x)=0
となってしまいました。
本当に与えられた境界条件の下で
u(x)=0以外の解が存在しますか？

{(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=a,u'(0)=b, u''(0)=c,u'''(1)=d
(P>0)の下で解くと
u(t)=
[{bP^(1/2)-d)sin(xP^(1/4))}/{2*P^(3/4)}]
+[{{a*P^(1/2)-c}cos{xP^(1/4)}}/{2P^(1/2)}]
+[{aP^(3/4)+bP^(1/2)+cP^(1/4)+d}e^{xP^(1/4)}
+{aP^(3/4)-bP^(1/2)+cP^(1/4)-d}e^{-xP^(1/4)}]/{4P^(3/4)}
=[{bP^(1/2)-d)sin(xP^(1/4))}/{2*P^(3/4)}]
+[{{a*P^(1/2)-c}cos{xP^(1/4)}}/{2P^(1/2)}]
+{aP^(1/2)+c}cosh{xP^(1/4)}/{2P^(1/2)}
+{bP^(1/2)+d}sinh{xP^(1/4)}]/{2P^(3/4)}
となります。

なお、K=[4]√(P)(>0)などとおきかえると式が見やすくなると思います。

回答No.1

noname#161582

＞A_1 e^x + A_2 e^-x　とあらわせる式は、
　A'_1, A'_2　を適当に置きなおすと、A'_1 cosh(x) + A'_2 sinh(x)
　と置きなおすことができるのですが、

それがわかっているなら

c3e^(-x[4]√(P)) + c4e^(x[4]√(P))

の部分が

c'1cosh(x[4]√(P)) + c'2sinh(x[4]√(P))

となることもわかるはずですが・・・