cos の積分について

質問

∫1/(1-aCOSx)^3 dx－∫(1-a^2)(SINx)^2/(1-aCOSx)^5 dx
a:定数

第1項、2項目ともに積分法が良くわかりません。

一応考えてみたのが
TANx/2 = t 　とおき
COSx = (1-t^2)/(1+t^2)
SINx = 2t/(1+t^2)
dx = 2/(1+t^2)

として考えてみましたが、やはりできません。

解き方がわかるかたいましたら、ヒントだけでも
お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

参考URLの無料の不定積分サイトで計算してみると
>∫1/(1-aCOSx)^3 dx
=-(a^2+2)tanh^(-1){(a+1)tan(x/2)/√(a^2-1)}/(a^2-1)^(5/2)
-a(a^2+3a cos(x)-4)sin(x)/[2(a^2-1)^2{a cos(x)-1}^2 + C

>∫(1-a^2)(SINx)^2/(1-aCOSx)^5 dx
長い式になりますので参考URLの不定積分の所に
(1-a^2)*(sin(x))^2/(1-a*cos(x))^5
と入力し積分の計算を実行してみてください。式が出てきます。

不定積分結果を見れは、どんな置換を使ったらいいかが分かりますので
参考にして下さい。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

回答No.1

arrysthmia

＞ 一応考えてみたのが
＞ TANx/2 = t 　とおき

考えてみたというより、どこかで見たか聞いたかしたことがあった
のでしょうね。　その方法は、sin x と cos x の分数式を x で積分
するときの万能の方法です。この方法を使うと、
多くの場合、ウンザリするような計算をするハメになりますが、
ともかく、不定積分を初等関数の組み合わせで表示することが
必ずできます。

上手いやり方を何も思いつかないときは、最後の最後、諦める直前に
使ってみても良いでしょう。
ただし、計算は長くなるので、根性が足りないと、

＞ として考えてみましたが、やはりできません。

というようなことになります。鉢巻でも締めて、がんばって下さい。

変数を t へ置換した後、被積分関数を整理すると、
分母が { (1 + t^2)^3 }{ (1-a) + (1+a) t^2 }^5 の分数式になる
と思います。コレの部分分数分解は、できましたか？