1/(a+btanx)の積分

質問

タイトル通りなのですが、
(1)sinxを置換する方法
(2)t=tan(x/2)と置換して、cosx,sinxをtで置く方法

(ax+log|acosx+bsinx|)/a^2+b^2となることは
分かっているのですが、途中の積分が解けません。
例．∫1/(a√(1-t^2)+bt)*2/(t^2+1)dt
簡単なほうでいいので、積分の経路を示して
いただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

＞(1)sinxを置換する方法
＞(2)t=tan(x/2)と置換して、cosx,sinxをtで置く方法

どっちの方法でもなくてもいいんですかね^^;

1/(a+btanx)=cosx/(acosx+bsinx)=cosx/Asin(x+α)

と変形します。
ここで、A=√(a^2+b^2)で、αはsinα=a/A,cosα=b/Aで決まる定数です。

θ=x+αで置換すると、

∫1/(a+btanx)dx
=∫cos(θ-α)/Asinθ dθ
=∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ　(※念のため、cotθ:=cosθ/sinθです)

のようになりますが、
cotθが含まれる第一項は、sinθ=tなどで置換すれば、不定積分が求まります。
第二項は、単なる定数なので、積分が簡単に積分できます。

(上のやつは、計算間違いしているかもしれませんが、こんな流れで不定積分が求まるはずです)

あと、誤植かもしれませんが、
＞(ax+log|acosx+bsinx|)/a^2+b^2となることは
ちょっとだけ違うようです。

お礼

eatern27さん．ありがとうございます．
しかしわからないところがあります．

∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ　の積分は，
θに対する積分なので，cosαなどの項は
前に出してもよいのでしょうか？
それともcosαcotθ=cos^2θ/sinθとして
計算すべきなのでしょうか？

お礼と同時の質問になってしまいましたが，
よろしくお願いいたします．

補足

ax+blog|acosx+bsinx|/(a^2+b^2)でした．
申し訳ありませんでした．

回答No.2

eatern27

＞∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ　の積分は，
＞θに対する積分なので，cosαなどの項は
＞前に出してもよいのでしょうか？

積分の外に出す事が出来ます。

＞ここで、A=√(a^2+b^2)で、αはsinα=a/A,cosα=b/Aで決まる定数です。
と、#1にも書きましたが、αは、(aとbだけで決まる)定数です。
従って、cosα等は(θには依存しない)定数です。定数は積分の外に出す事が出来ましたよね。

お礼

解けそうです。
eatern27さん、丁寧に対応して頂いてありがとうございました。