多様体

質問

８のような自己交差するものは、何次元になっても多様体とはみなされないのでしょうか？

そうでないのなら何か例を、そうであるのならば証明を教えていただきたいのですが、、、。

回答No.3

kabaokaba

＞manifold を「マ様体」、variety を「バ様体」と訳している
（笑）
varietyを「変様体」と訳す流儀の噂は聞いたことがありますが(^^;;

大学生それも数学系，それも幾何系の学生だと思うので
それなりに。。。

>えっとでは多様体の基礎(松本幸夫)などに出てくるmanifoldの場合、自己交差がないというのはすぐ証明できることなのでしょうか？

松本先生の本の定義をしっかりみましょう．
また「自己交差がないことの証明」といいますが，
では「自己交差」とは何ですか？
交点数が2以上ですか？
となると「分枝」（もしくはそれに類するもの）が必要ですが，
それの定義は？
「交差」の定義さえ明確になっていれば
証明は容易でしょう．

交差（ぶっちゃけた話，特異点）があると
話は相当に複雑になりますので，
松本先生のあの本のような初学者向けの初歩の本や
松島先生の「多様体論」のような教科書でも
特異点は正面からは扱ってません．
＃特異点だとシンガー・ソープの教科書か
＃石井先生のシュプリンガー・東京からでてる本，
＃卜部先生の本，石川・泉屋先生の本（これは実幾何の本）かな・・・
＃＃順番にやさしめになるように並べたつもちり

回答No.2

arrysthmia

manifold を「マ様体」、variety を「バ様体」と訳している
文献に出会ったことがあります。（笑

manifold の意味では、自己交差の有無は、多様体自身の
位相的性質ではなく、多様体を他の空間へ埋め込むときの
埋め込み写像の性質と考えるのではないでしょうか。

manifold の定義が、

定義： 位相空間 M が位相空間 T 上の多様体であるとは、
M に一組の開被覆 U が存在して、
U の各集合は、T のある開集合と同相である　ことを言う。

…でよいならば、M に自己交差が許されるか否かは、
T が自己交差を持つか否かに依存します。

通常は、T が一様位相を持つ空間（ほとんどの場合
ユークリッド空間）であるような M を扱うので、その範囲では、
manifold は自己交差を持たないと考えてよいでしょう。

回答No.1

kabaokaba

そういうのは，英語では``variety''といいます．
manifoldとは異なります
ただし，日本語訳だとともに「多様体」なのでややこしい上に
フランス語だと<<vari\'et\'e>>で一緒だというややこしさ．
文脈で判断するしかありませんし，
実際，分かってれば容易に判断できるのですが，
ややこしい場合は，
特異多様体とか
「特異点をもつ」という形容がつくこともありますし
特異点がない場合は「滑らかな多様体」
とかいわれます．

一番シンプルなケースは
C^2における
x^2-y^2=0 とか y^2=x^3 であり
これらは原点を特異点としてもってますが
それ以外の点では滑らかな多様体です
＃証明は陰関数定理より明らか．

補足

えっとでは多様体の基礎(松本幸夫)などに出てくるmanifoldの場合、自己交差がないというのはすぐ証明できることなのでしょうか？