ポアンカレ予想

質問

ポアンカレ予想「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S^3に同相である」で、ペレルマンが同相であると証明したのか、それとも同相でないと証明したのかどちらですか。教えてください。

回答No.3

catbird

3次元閉多様体（3次元ユークリッド空間）の中にある全ての「輪ゴム」を一点に収縮出来た時、球体と同相と言えるかと、例えば、ドーナツ形では、輪ゴムはドーナツの穴に引っ掛り、一点に縮むことは出来ない。3次元多様体の分類をいきなり考えるのは難しい。そこで2次元多様体（端の無い一枚の面）の分類について考えてみる。以前私が示した様に、2次元閉多様体は、8つの形に分類出来る。そして、その一枚の面の内面上にある「輪ゴム」をその面上で移動加工して、一点に縮むのは、球面のみであることが分かった。この事実を、3次元閉多様体に応用してみよう。2次元閉多様体では「輪ゴム」は、面上のみ移動出来る。3次元閉多様体では「輪ゴム」は、その表面を離れ空間の内側を自由に移動できる。その点が異なるのみである。以前私が示した形では、輪ゴムを面から離し内部の空間内を移動・伸縮・すり抜けさせて加工しても、輪ゴムの輪の中にドーナツの穴が存在するか、輪ゴムの輪の中に端の無い一枚の面が存在する（端が無いので輪から外すことが出来ない）為、球体以外では一点に収縮させることは出来ない。3次元閉多様体の表面は、2次元閉多様体に完全に含まれる。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが証明出来る。

回答No.2

catbird

地球からロープを付けロケットに乗り、再び地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープを引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。3次元閉多様体は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れる。輪には3つの形がある。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（一筆書き二重丸）です。輪の動かし方は(1)輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、（○の輪の場合球体。）(2)輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、（○の輪の場合、ドーナツ形。◎の輪の場合は、ドーナツの内側に穴に沿ってもう１つドーナツのある形。∞の輪の場合はドーナツの外側に穴に沿ってもう１つドーナツのある形。）(3)輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、元の輪の位置に戻る方法、（○の輪の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形＝クラインの壷）です。途中の動かし方が(2)(3)には3種類ある。(2)は前記方法と、回転の途中で引き返しながら大きくし、進みながら小さくして元の位置に戻す方法（ドーナツの外側にもう１つのドーナツが縦の切り口に沿ってある形）、逆に途中で輪を引き返しながら小さくし、また戻りながら大きくして元の位置に戻す方法（ドーナツの内側に縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある形）です。(3)は、移動の途中に(2)の場合と同じ動きを入れる方法です。クラインの壷の途中に（内も外も連続しており同じ）、縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある形になる。以上8種類の形があり、ロープを回収できるのは球体のみです。

回答No.1

totoro7683

同相であると証明しました。
正確にいうと証明への大まかなアイデアを与えました。
完全な証明はまだ出来ていないそうです。