多様体

質問

大学の三回生です。
多様体に関する質問なのですが、下記の問題がわかりません。

4 次元ユークリッド空間R^4 の部分集合M を次で定める．
M = {(a, b, c, d) ∈ R^4 | a^2−b^2+c^2−d^2 = 1, ab+cd = 0}.
M は，C∞ 級微分可能多様体R4 のC∞ 級部分多様体であることを示せ．

という問題です。
微分可能多様体の定義はわかるのですが、どのように示せばよいかわかりません。
どなたか解答もしくは解説お願いします。

回答No.1

33550336

文字化けしていて読めないので問題文を推測するに…
Ｍ＝{a^2+b^2+c^2+d^2=1,ab+cd=0}
でよろしいでしょうか？

写像ｆ：R^4→R^2を次のように定義する。
f(a,b,c,d)=(a^2+b^2+c^2+d^2,ab+cd)
このとき(1,0)はｆの正則値であるから
その逆像であるＭは定義域の部分多様体となります。

証明は陰関数定理などを利用すればできるはずですので
考えてみてください。