証明問題, B(R^n)=σ(J_n)を示せ(B(R^n)はn次元ボレル集合体)
今日はよろしくお願い致します。
B(R^n)をn次元ボレル集合体,σ(J_n)をn次元区間J_nから生成されるσ集合体とする。
[問] B(R^n)=σ(J_n)となる事を示せ。
[証]
R^nの位相はn次元開区間の任意個の和集合T:={∪[λ∈Λ]I_λ∈2^X;I_λはn次元開区間(Λは非可算集合)}と採れるから
B(R^n)=σ(T)(∵ボレル集合体の定義)
=∩[B∈{B;T⊂B,BはR^n上のσ集合体)}]B(∵生成されるσ集合体の定義より)
=R^n
(∵Tを覆えるのはR^nしかないので
(∵もし,仮にR^nの真部分集合でTを覆えたものがあったとすると
少なくとも(-∞,+∞)×(-∞,+∞)×…×(a,+∞)×…×(-∞,+∞)(a∈R,n個の直積集合)
というような有界な区間がある。この時,
(-∞,+∞)×(-∞,+∞)×…×(a-1,+∞)×…×(-∞,+∞)∈Tなのに
(-∞,+∞)×(-∞,+∞)×…×(a,+∞)×…×(-∞,+∞)はTを覆えてない))
同様に
σ(J_n)=∩[B∈{B;J_n⊂B,BはR^n上のσ集合体)}]B(∵生成されるσ集合体の定義より)
=R^n(∵上記と同じ理由)
従って
B(R^n)=σ(J_n)となったのですがどこかおかしいでしょうか?
補足
これではMに境界がある仮定に矛盾してませんか？