平坦な2次元多様体の埋め込みについて 位相幾何

質問

2次元平坦トーラスの埋め込みには4次元ユークリッド空間が
必要であるようなのですが、これに関して「宇宙と幾何学/木原太郎」
という本を読んでいる際に、
「平坦で閉じたn次元多様体を平坦なまま埋め込めるユークリッド空間の
次元の最小値は2n以上である」という記述がありました。

これについて教えて頂きたいのですが、これは何という定理なのでしょうか。
また、そのように考えうる根拠や証明法など知りたく思います。
また、詳細が書かれている本がありましたら紹介頂けると助かります。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

ホイットニーの強定理では、滑らか、ハウスドルフ、第２可算公理を満たす、n次元多様体を、2n次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込めることを保証しているようです。

http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem

お礼

ありがとうございます。
普通のホイットニーの定理（2n+1次元に埋め込み可能）と異なり、
強定理の場合、「閉多様体」に限れば最低でも2n次元あれば埋め込める
ということなのでしょうか？
リンク先の証明を追っていますが、英文に弱く理解できずにいます。
なにか直感的に理解する方法などないものでしょうか・・。

n=1,2の閉多様体の平坦埋め込みの場合は直感的に理解できるのですが、
3次元閉多様体を平坦なまま埋め込むのに6次元必要であることが
イメージできず困っています。
（具体的には、3次元平坦トーラスの6次元空間への埋め込みについてです）

回答No.3

ramayana

「直感的に理解する方法」

定理の証明を地道に追うのが近道のような気がします。

「3次元閉多様体を平坦なまま埋め込むのに6次元必要」

実際には、5次元でよさそうです。ANo.2で掲げた文献には、n が2のべきでない限り、n次多様（ハウスドルフ等必要な条件を満たすもの）は、2n-1 次元ユークリッド空間に埋め込める、と書いてあります。もし、これが正しいなら、ご質問で引用されている「平坦で閉じた n 次元多様体を平坦なまま埋め込めるユークリッド空間の次元の最小値は 2n 以上である」の部分は、間違いということになります。

回答No.1

alice_44

何だろう？
Whitneyの定理は、2n+1次元だよね。