放物線に関して反対側・・・？

質問

こんばんわ。僕は浪人生で今数学（センター用）をやっていたのですが、少し自分の中ではっきりしないところがあったのでお聞きしたいのです。
問題は、y=x2+ax+b(a,b定数）と２点A(0,-1)B(2,2)があり、放物線の頂点は線分ＡＢ上にある。２点Ａ、Ｂがこの放物線に関して反対側にあるときaのとりうる範囲を求めよ
といった問題です。ここで疑問に浮かんだのは放物線に関して反対側とはどういった事になるのでしょうか？放物線に関して対照ということですか？もしそうであるならば一般に放物線に関して対照な点とはどのような点ですか？たとえば直線に関して言えば想像するのは簡単なのですが、放物線の対照と言うのはうまく想像できません。わかりにくい文になって申し訳ないのですが、前問の求め方と放物線に関して対照な点の定義を教えて頂きたいです。よろしくお願いします

回答No.4

mkami · ベストアンサー

もうご理解済みかもしれませんが。。。

放物線y=x2+ax+b(a,b定数）を境界線にして
xy座標平面は２分されます。

問題ではA、Bが２分割されたそれぞれの平面に
ひとつずつある状態でのaの範囲を求めようとしています。

（つまり、放物線の下にA,B２点が位置していてはいけない）

[解法]
まずAとBを結ぶ線分上に頂点が存在し、
そのx座標は-a/2、また頂点は(-a/2,(-a/2)2+a(-a/2)+b)。
この点において放物線と線分ABは交わるから、
(-a/2)2+a(-a/2)+b = 3/2(-a/2)-1 (線分AB上の条件)

よってbがaで表現できる（計算略）。
これによってy=x2+ax+bがaによってあらわされた。
これと制約条件
0 < -a/2 < 2 （軸のx座標値は線分上）
x=0 のとき y>-1
（２次式の頂点y座標が必ず-1より大きくなり、下に凸なので調べる必要はありません）
x=2 のとき y<2 （こっちが重要）
より答えとなるaの範囲は求められるはずです。

がんばってください。お役に立てればうれしいです。

お礼

回答ありがとうございます。反対側とはそういうことだったのですか。分かりました。どうも反対側というのを対照でなければいけないと思いこんでいたようです。がんばってみます。どうもありがとうございました

回答No.3

Largo_sp

前のお二人が正式な答えを書いていらっしゃるようなので、参考までに
点ＡとＢが放物線に対して反対側にあるということは
放物線がＡとＢの間を通ると読み替えても問題ないです。
これが円とか、双曲線だと違ってきますけどね

ということで、aの取りうる範囲なので、y=(x+a/2)^2-a^2/4+bと変形して、
aの変化ではx軸方向にずれることが解かりますね...
このとき、x=0とx=2の時の値を調べて...
という方法もあります。たぶん不等式を使った方が
スマートに答えが出るとは思いますが...

回答No.2

noname#24477

紙に放物線を描いてはさみでジョキジョキやれば２つの部分に分けられます。
（別にはさみで切らなくても、「平面が２つに分けられる」
ということはいいですか？）
この２つの部分がお互いに「反対側」ということになります。

不等式で表すことができます。
前の人が書いてみえるように
ｙ＞x^2+ax+b　　放物線の上側
ｙ＜x^2+ax+b　　放物線の下側

回答No.1

oshiete_goo

＞放物線に関して対照ということですか？
そうではありません．

片方が
y＞x2+ax+b
を満たす領域にあり，他方が
y＜x2+ax+b
を満たす領域にあるという意味で，
f(x,y)＝－y＋x2+ax+b
と置けば
f(0,-1)・f(2,2)＜０
と表現できます．
正領域，負領域のあたりをお調べになると良いかも知れません．