級数の証明問題です

質問

実数列{a[n]}の級数Σa[n](n=1～∞)が実数に収束する時、

|Σa[n]|≦Σ|a[n]| (n=1～∞)

が成立することを証明せよ。という問題です。

三角不等式を使って、|Σa[n]|≦Σ|a[n]| (n=1～m)は証明できたのですが、m→∞にした時にどうなるのかがわかりません…。どなたかお願いします。

回答No.3

grothendieck

こんなところで質問するより、自分で参考書を調べた方が良いと思いますよ。
Σ|a[n]| は単調増大なので任意のｍについて
　Σ|a[n]|(n=1～m) ≦ Σ|a[n]| (n=1～∞)
したがって任意のｍについて
　|Σa[n]|(n=1～m) ≦ Σ|a[n]| (n=1～∞)　…(1)
ここで|Σa[n]|(n=1～∞) >Σ|a[n]| (n=1～∞)　と仮定し、
　|Σa[n]|(n=1～∞) - Σ|a[n]|(n=1～∞) =ε　…(2)
とおくとεは正の数で、Σa[n](n=1～∞)が収束するので適当なｍをとると
　| |Σa[n]|(n=1～∞) - |Σa[n]|(n=1～m) | < ε/2
とすることができるが、これは(1)(2)と矛盾する。よって
|Σa[n]|≦Σ|a[n]| (n=1～∞)

回答No.2

noname#227064

|Σa[n]|≦Σ|a[n]|がn = mのとき成立する場合、n = m+1にも成立することを証明してください。

回答No.1

boobee0125

>三角不等式を使って、|Σa[n]|≦Σ|a[n]| (n=1～m)は証明できたのですが、m→∞にした時にどうなるのかがわかりません…。

m→∞ で級数が収束するという条件があるので「任意の m で成立 ⇔ m→∞ で成立」ではないでしょうか？