収束に関する証明問題

質問

｛An｝(n＝0～∞)、｛Bn｝(n＝0～∞)を数列とし、Σ(n＝0～∞) |An|、Σ(n＝0～∞) |Bn|は収束するとする。このとき、
Cn＝Σ(m＝0～n) An－m × Bm
と定めると、Σ(n＝0～∞) Cnは絶対収束することを示せ。

という証明問題がよく分かりません。分かる方、教えてくださると助かります。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

「よく分かりません」というのではなく、具体的にどう分からないのか書いてください。

方針
有限和に区切って考える。Σ(0≦n≦L) C(n) というのが、元のA(j). B(k)のどの範囲を足しているのかを考える

略解
|C(n)| = |Σ(0≦m≦n) A(n-m)B(m)| ≦ Σ(0≦m≦n) |A(n-m) B(m)|から、
0≦Σ(0≦n≦L) |C(n)| ≦ Σ(0≦n≦L) Σ(0≦m≦n) |A(n-m) B(m)|
= Σ(0≦n≦L)Σ(0≦i, 0≦j, i + j = n) |A(i)B(j)|
= Σ(0≦i, 0≦j, 0≦i+j≦L) |A(i)B(j)| ... (1)
≦ Σ(0≦i≦L, 0≦j≦L) |A(i)B(j)| ... (2)
= { Σ(0≦i≦L) |A(i)| } * { Σ(0≦j≦L) |B(j)| }
= { Σ(0≦n≦L) |A(n)| } * { Σ(0≦n≦L) |B(n)| }

まとめて、
0≦Σ(0≦n≦L) |C(n)| ≦ { Σ(0≦n≦L) |A(n)| } * { Σ(0≦n≦L) |B(n)| } (3)
(3)の一番右の辺は、L→∞の時収束するから、Σ(0≦n≦L) |C(n)| もL→∞の時収束する。つまりΣ(0≦n<∞)C(n)は絶対収束する。

(1)(2)で、どのi, jの範囲を足しているか、確認してください。

お礼

回答ありがとうございます(´；ω；`) 非常に分かりやすいです。